抽樣技術-第三章(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ?? ?????)( ???? ?? ?????)∑?? = ????∑?? = ??????( ???? ?? ?????)?? 當 B c 用樣本估計 b c 來代替時 , 有 y?l r c= y?st+b c ( X? x?st) = [ y?st+B c ( X? x?st)] + ( b c B c )( X? x?st) 在式 中 , 中括號里是總體均值 Y?的無偏估計量 , 而 ( b c B c )( X? x?st) 的存在使得此時的聯合回歸估計變成有偏的 , 但當樣本量 n 較大時 , 估計量的偏倚趨于 0 。即此時的聯合回歸估計是漸進無偏的 , 而且當 b c 的抽樣誤差可以忽略時 , 有 V ( y?l r c) ≈ ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh( Syh2+ Bc2Sxh2 2 B c S xyh ) 它可以用下面的 v ( y?l r c) 進行估計 : v ( y?l r c) ≈ ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh( nh 1 ) ∑i = 1nh[( yhi y?h) bc( xhi x?h)]2 = ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh( syh2+ bc2sxh2 2 b c s x y h ) 分別回歸估計與聯合回歸估計的比較 為了簡單起見 , 這里只針對分別回歸估計和聯合回歸估計的 最小方差 V m i n ( y?lrs) 和 V m i n ( y?lrc) 進行比較。 V m i n ( y?lrs) = ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh Syh2Sx y h2Sxh2 V m i n ( y?lrc) = ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh( Syh2 Bc2Sxh2) V mi n ( ????? ?? ??) V mi n ( ????? ?? ??) = ∑?? = ????a h ( ???? ????)??≥ 0 當 β h 和 β 均取最優值時 , 分別回歸估計優于聯合回歸估計 , 尤其是當各層的回歸系數相差較大時 , 分別回歸估計的優越性更加明顯。 當回歸系數需要由樣本進行估計時 , 如果各層的樣本量不太小 , 而且各層的回歸系數之間的差異較大 , 采用分別回歸估計較為適宜 。 如果各層的樣本量不大 , 而且各層的回歸系數大致相同 , 采用聯合回歸估計較為適宜 。 如果各層的回歸系數差別不是太大 , 而且每層的樣本量 n h 不是相當大 , 聯合回歸估計可能更保險一些。 經化簡得 ： 例 ? 已知某公司一般職員 (包括辦事員和保管人員 )及高級管理(經理 )人員剛進入公司時的工資總額 ,欲通過抽樣調查估計當前該公司職員的工資總額 Y。抽樣按照一般職員層與高管層進行分層隨機抽取。一般職員層抽取 n1=15名職員 ,高管層抽取 n2=10名職員。同時還知道一般職員層人員總數N1=390名 ,該類職員進入公司時工資總額為 X1=5 523 965元 。高管層人員總數 N2=84名 ,該類職員進入公司時工資總額為 X2=2 541 660元。經過分層隨機抽樣調查所得的數據如表 3—5所示。請對上述數據分別按照分別比估計、聯合比估計、分別回歸估計、聯合回歸估計以及差估計方法對該公司當前職員工資總額 Y做出估計 ,同時計算出各個估計量的精度。 表 3 — 5 某公司職員工資總額調查數據 一般職員層 ( h =1 ) 高管層 ( h =2 ) i x hi y hi i x hi y hi 1 8 000 19 200 1 26 250 64 750 2 16 500 34 800 2 22 750 46 000 3 10 500 22 950 3 20 000 41 500 4 15 550 34 400 4 29 400 80 250 5 18 000 38 350 5 37 500 87 500 6 16 500 37 800 6 23 250 49 625 7 14 250 31 650 7 31 500 79 500 8 13 500 32 550 8 34 200 83 500 9 15 000 36 050 9 33 000 82 250 10 10 200 27 450 10 35 540 85 500 11 15 000 35 750 12 15 750 36 750 13 13 750 33 250 14 21 240 44 875 15 10 750 21 300 注 : x hi 代表第 h 層第 i 個職員剛進入公司的工資收入 。 y hi 代表第 h 層第 i 個職員當前的工資收入。 解 : 首先根據表 3 — 5 中的調查數據 , 計算得出表 3 — 6 中的相關統計量的值。 表 3 — 6 根據調查數據計算出來的相關統計量的值 指標 一般職員層( h= 1 ) 高管層( h= 2 ) 總計 N h 390 84 N= 474 n h 15 10 n= 25 W h =N h /N 0 . 822 79 0 . 177 21 1 ( 1 f h ) /n h 0 . 064 11 0 . 088 09 — X h 5 523 965 2 541 660 X= 8 065 625 X?h=X h /N h 14 163 . 01 30 257 . 86 X?= 17 指標 一般職員層( h= 1 ) 高管層 ( h= 2 ) 總計 y?h= ∑i = 1nhy hi /n h 32 4 7 5 70 0 3 8 — x?h= ∑i = 1nhx hi /n h 14 2 9 9 29 3 3 9 — syh2 48 9 9 2 4 1 0 . 71 322 7 8 4 895 . 83 — sxh2 11 4 7 6 1 4 9 . 52 36 0 0 1 0 9 8 . 89 — s xyh =r h s yh s xh 22 6 9 1 4 1 0 . 71 103 9 0 4 069 . 44 — R＾h= y?h/ x?h 2 . 2 7 1 09 2 . 3 8 7 18 — b h ( 式 ( 3 . 88 )) 1 . 9 7 7 27 2 . 8 8 6 14 — rh2 0 . 9 1 5 79 0 . 9 2 9 04 — 五種估計方法 結果比較 表 3 — 7 不同估計方法的結果對比 估計方法 估計值 Y＾ Y＾標準差的估計 分別比估計 18 612 822 263 998 . 28 聯合比估計 18 605 039 272 252 . 10 分別回歸估計 18 667 111 243 598 . 76 聯合回歸估計 18 600 668 264 323 . 16 差估計 18 572 927 490 858 . 05 從表 3 — 7 可以看出 , 對于本例來說 , 有 :( 1 ) 聯合比估計與聯合回歸估計的效果基本一致 ,原因在于 R＾c與 b c 的數值比較接近 。( 2 ) 分別估計的效果好于聯合估計的效果 , 原因在于 R＾1與R＾2之間 ( b 1 與 b 2 之間 ) 有一定差別。 ? 注意 ： 此時的比估計和回歸估計 (回歸系數采用樣本回歸系數進行估計 )均為 有偏估 計 ， 并且考慮到各層的樣本量都不大 ， 回歸估計的偏倚有可能更大 ， 所以此時采用比估計 ， 特別是聯合比估計會更保險。 而差估計雖然標準差相對較大 ， 但它卻是 無偏的 ，均方誤差并不一定大 ， 所以仍然有采用的價值。 比率估計與回歸估計小結 ? 在分層隨機抽樣中 ， 當 輔助變量可加以利用時 ， 為了 提高估計量的精度 ， 可以采用 分別比估計、聯合比估計、分別回歸估計以及聯合回歸估計 等估計方法。 ? 在 比估計 中 ， 當各層樣本量都較大時 ， 分別比估計與聯合比估計近似無偏 ； 當某些層的樣本量不夠大 ， 而總樣本量較大時 ,聯合比估計近似無偏。 ? 在 回歸估計 中 ， 少數情況下 ， 回歸系數可以是事先設定的常數 ,其估計量無偏 ； 多數情況下 ， 回歸系數需利用樣本回歸系數進行估計 ， 其估計有偏 ， 但在大樣本的情況下近似無偏。 ? 當 Y與 X高度相關時 ,分別比估計、聯合比估計、分別回歸估計以及聯合回歸估計等估計等產生的估計量 都是有效的 。 選擇估計方 法， 大致需遵循的原則 ? 在選擇估計方法時 ,大致需遵循下面的原則 : (1)由于分別估計 (無論是分別比估計還是分別回歸估計 )要求各層的樣本量都比較大 ,所以當某些層的樣本量不夠大時 ,建議采用聯合估計 (2)當回歸系數需要由樣本進行估計時 ， 回歸估計量是有偏的 。 在這種情況下 ， 采取比估計尤其是聯合比估計也許更保險 (3)如果各層的樣本量都比較大 ,同時每層的比估計或回歸估計也比較有效 （ 即 ρh均比較大 ） ,而且各層的 Rh之間 （ 或 βh之間 ） 差異較大 ,則此時分別估計優于聯合估計 ,估計量的方差更小 (4) 如果各層的樣本量不大 ,而且各層的 Rh之間 (或 βh之間 )差異較小 ,則采用聯合估計較為適宜 (5) 如果各層的 Rh之間 (或 βh之間 )差別不是太大 ,而且并不是每層的樣本量都相當大 ,則聯合估計可能更保險一些 ? 如果各層的回歸系數都接近于 1,則可以采用差估計。雖然有時差估計量的方差偏大 ,但由于它為無偏估計量 ,所以總的均方誤差不一定大 2023/3/26 61 第五節 各層樣本量的 分配 ? 確定樣本量：總的樣本量 ， 各層樣本量 ? 估計量的方差不僅與各層的方差有關 ，還和各層所分配的樣本量有關 。 通常會有下面的幾種分配思路 :( 1 ) 常數分配 。 ( 2 ) 與層內方差 S h2成比例地分配 。( 3 ) 與層權 W h 成比例地分配 。( 4 ) 與 W h S h 成比例地分配。 ? 實際工作中有不同的分配方法，可以按各層單元數占總體單元數的比例分配，也可以采用使估計量總方差達到最小、費用最小。 2023/3/26 62 2023/3/26 63 一、比例分配 ? 按各層單元數占總體單元數的比例，也就是按各層的層權進行分配 . ? 對于分層隨機抽樣 ， 這時總體均值的估計是 nnNN Wh hh? ? fNnNnfhhh ???? ???? ??????LhnihihhLhhhLhhhp r o phynnnynnyWy1 1111 ）（yynynniiLhnihih??? ?? ??? ? 11 111自加權 2023/3/26 64 總體中的任一個單元 ， 不管它在哪一個層 ， 都以同樣的概率入樣 ，因此按比例分配的分層隨機樣本 ， 估計量的形式特別簡單 。 這種樣本也稱為自加權的樣本 。 ? 總體比例的估計是 p pn aprop hhL? ???1? ? ? ?V y W V y W nn fn S fn W Sp r o p h hhLhh hhhhLh h