數(shù)學(xué)思維的特征與方法(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 過(guò)程，糾正學(xué)生作圖中存在的問題。這一上課學(xué)生拿出昨天晚上做的那個(gè)橢圓，就在屏幕上演示，老師來(lái)說(shuō)一說(shuō)那畫的不好。然后呢，老師黑板上就打出 PPT 是一個(gè) 標(biāo)準(zhǔn)的 橢圓 圖形了，然后跟學(xué)生就說(shuō)，橢圓畫好了 ，今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)。然后我們還是 看他的學(xué)案 ， 你會(huì)發(fā)現(xiàn)整節(jié)課他都是 讓學(xué)生觀察 圖形。介紹 頂點(diǎn)的時(shí)候，請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)觀察這個(gè)橢圓與坐標(biāo)軸有幾個(gè)交點(diǎn) ，其它性質(zhì)也 全是圍繞著這個(gè)圖來(lái)進(jìn)行。我們知道解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)是什么呢？是用代數(shù)方法研究幾何問題，所以我們?cè)诮馕鰩缀谓虒W(xué)的時(shí)候， 無(wú)論是介 紹 橢圓性質(zhì) 或者是雙曲線性質(zhì)，我們都要傳授給學(xué)生的 學(xué)科思維是什么呢？是怎么樣 用 代數(shù)的方法，用方程去研究 幾何 性質(zhì)。而不是依賴圖形，所以這節(jié)課完全違背了解析幾何的基本思想 用代數(shù)方法解決幾何問題 ,用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，要觀察的不應(yīng)該是圖象，應(yīng)該是方程！ 應(yīng)該讓學(xué)生看一看， 22125 16xy??這個(gè)方程有什么特點(diǎn)。對(duì)吧，圓的方程你講了，直線方程你講了，相對(duì)于這些方程，那么這個(gè)曲線方程的特征是什么？要看的是方程，而絕對(duì)不是橢圓。像橢圓的 對(duì)稱性，不是靠觀察 得出 關(guān)于 x 軸對(duì)稱， 再去證明 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，關(guān)于 y 軸對(duì)稱 而應(yīng)該是 通過(guò)方程 尋找 橢圓 的 特點(diǎn)。其實(shí)從這個(gè)方程我們就可以看到，你把 x?代入方程的左端，方程還是成立， y? 也成立， ( , )xy?? 往里代還是成立。那么既然有 這樣的 代數(shù) 性質(zhì) ，我們就可以問問學(xué)生對(duì)應(yīng)的幾何 特征 是什么？點(diǎn)，( , )xy? 、 ( , )xy? 、 ( , )xy?? 都 滿足方程 ， 而 (, )xy 這個(gè)點(diǎn)顯然也在曲線上，這又說(shuō)明了什么？所以是從這樣 的一個(gè)思維，這樣的一個(gè)角度來(lái)研究 對(duì)稱性，而不是什么去證明對(duì)稱性。 頂點(diǎn)也是這樣的，頂點(diǎn)是什么？從定義來(lái)看，應(yīng)該是對(duì)稱軸和曲線的交點(diǎn)，所以你要求頂點(diǎn)坐標(biāo)那就是點(diǎn)與方程。然后要求頂點(diǎn)坐標(biāo)，長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn) 可以由直線 0y? 與 橢圓方程去聯(lián)立 ， 而絕對(duì)不是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的就是一個(gè)看出那個(gè)(5,0) 、 ( 5,0)? 。 接下來(lái)，由 2 016y ? ， 可以 得出 x 的范圍，由 2 025x ? ，得出 y 的范圍 ， 然后得出 55x? ? ? ， 44y? ? ? 的時(shí)候，我們?cè)僮寣W(xué)生去理解 橫縱坐標(biāo) 的范圍內(nèi) ，這個(gè) 矩形應(yīng)該是這樣出來(lái)，而不是你畫出來(lái)的。所以我覺得 一個(gè)老師 如果對(duì)一個(gè)學(xué)科的思想把握不住的話，表面 看 來(lái)這節(jié)課 不錯(cuò)， 板書，教態(tài)，基本功也 都到位，學(xué)生的互動(dòng)，各種理念都可以放上去，但是實(shí)際上這是一節(jié)差課。王建彬老師跟我們 說(shuō)過(guò)這么一句話，你要想 看一個(gè)老師的水平，就讓他上一節(jié)解析幾何課 就夠了，聽 15 分鐘就能把老師的水平查的一清二楚。我原來(lái)當(dāng)教研組長(zhǎng)的時(shí)候， 招聘教師基本都是解析幾何課，講橢圓的性質(zhì)啊，講軌跡等等。 我們發(fā)現(xiàn) 很多老師其實(shí)講不出東西來(lái)，講的都是那種算的層面的東西，而講不出這種學(xué)科的 思維 。 解析幾何的教學(xué)，就要牢牢抓住用代數(shù)的方法解決幾何問題這一關(guān)鍵！ 四年后 我又聽 了這個(gè)老師的 解析幾何課，那就講的非常好了，就是他對(duì)這門學(xué)科完全把握住了，所以一個(gè)老師的成長(zhǎng)，特別是作為一個(gè)數(shù)學(xué)老師的成長(zhǎng) ，最重要的是 數(shù)學(xué)素質(zhì)的修養(yǎng)，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘 ， 而說(shuō)上課生評(píng)分挺高 或者怎么樣 。說(shuō)實(shí)話，這個(gè)課學(xué) 生還聽不出來(lái)呢，學(xué)生根本也不知道解析課應(yīng)該是這樣上，還是那樣上， 但 是最為老師，必須要知道 。 就 像 我們常常教育學(xué)生那樣：好的學(xué)習(xí)方法，關(guān)鍵是要?jiǎng)幽X筋，勤思考一樣，我們作為教師，不能把我們每天的上課看成是機(jī)械的、重復(fù)性的、簡(jiǎn)單的體力勞動(dòng)，而是要研究知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律，研究教學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，研究學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律 。 好，那我下面就講一下解析幾何的我的一些想法。 從知識(shí)層面上說(shuō)，現(xiàn)在來(lái)看，直線與方程，圓與方程，圓錐曲線，這么三塊，思維特征是什么？解析幾何的思維特征是什么呢？就跟函數(shù)思維想法一樣，我覺得曲線與方程的思維，應(yīng)該是解析幾何的思維特征。動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成軌跡，那么在直角坐標(biāo)系下呢，就需要知道到底形成 了什么樣的軌跡，從而就設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，找到橫坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系方程，再 由方程來(lái)判斷形成了什么樣的 軌跡 。我覺得這是解析幾何所面臨的問題。從研究方法來(lái)來(lái)看，拿到一個(gè)幾何對(duì)象以后，我要進(jìn)行代數(shù)化，要進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，那么怎么來(lái) 完成這個(gè)代數(shù)化 。其實(shí)這一中間的思維過(guò)程呢，咱們目前的教學(xué)應(yīng) 該說(shuō)還是比較粗糙一些，或者說(shuō)老師講 得 不是太明確，導(dǎo)致咱們的學(xué)生基本上都認(rèn)為解析幾何就是算。有方 程就聯(lián)立，就坐標(biāo)就代入。是這樣一種思維狀態(tài)。老師甚至指導(dǎo) ，像那個(gè)大題， 一上去就 就聯(lián)立，聯(lián)立算到哪兒不行就算了，趕緊做下一題。教了 整個(gè) 高中的解析幾何，最后就落的這么一個(gè)下場(chǎng)，解析幾何不會(huì)想。我想應(yīng)該是拿到幾何對(duì)象，直線圓橢圓曲線這樣的幾何對(duì)象之后， 先研究幾何特征， 而這個(gè)幾何特征可以從幾個(gè)角度能得到 。 那我先從代數(shù)化的觀點(diǎn)來(lái)看，代數(shù)化的觀點(diǎn)是什么呢？所以有時(shí)候我就拿這樣的很簡(jiǎn)單的問題考學(xué)生，比如說(shuō)， 0( 0)A x B y C A? ? ? ?，我說(shuō)直線在這個(gè)平面上，我說(shuō)你還能不能進(jìn)一步的做一些代數(shù)化 ， 學(xué)生就什么也看不出來(lái) ， 只能說(shuō)斜率，交點(diǎn)坐標(biāo)。 學(xué)生覺得其實(shí)都已經(jīng)代數(shù)化了 。這反映出什么呢？ 學(xué)生覺得代數(shù)化就是計(jì)算， 算斜率， 算 兩個(gè)軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 。 其實(shí)如果從幾何的角度來(lái)看，直線在平面上，直線把平面呢分成了兩部分，分成了兩個(gè)區(qū)域。那么在 0A? 的前提下，顯然右下區(qū)域就是可以用不等式 0Ax By C? ? ? 來(lái)表示，左上區(qū)域那就是0Ax By C? ? ? ， 這樣的一個(gè)代數(shù)化，完全可以做的。所以這就反映出我們?cè)谶M(jìn)行代數(shù)化的這種訓(xùn)練的時(shí)候呢，要首先有一個(gè)臺(tái)階，給學(xué)生搭一個(gè)臺(tái)階，就是你要思考，在你面臨問題 中 的幾何的東西是什么，而不要上來(lái)就想去算。 所以從學(xué)生解決這個(gè)問題所遇到的障礙，我們就可以看出在學(xué)生的頭腦中沒有一個(gè)比較明確的解析幾何的方法， 而 這也正是我們教學(xué)中要 堅(jiān)持不懈 強(qiáng)調(diào)的，堂堂都要落實(shí)的東西。要落實(shí)什么呢？不是說(shuō) 把 概念說(shuō)的一清二楚，背的滾瓜爛熟，不是這些東西，我們要培養(yǎng)學(xué)生會(huì)想問題，而這個(gè)想問題呢，不是泛泛 地 想問題，每個(gè)學(xué)科都有每個(gè)學(xué)科的特征，特點(diǎn)，思維方法。所以我們?cè)诿總€(gè)學(xué)科的教育中教給學(xué)生怎么想。所以在這個(gè)解析幾何的教學(xué)中，其實(shí)就像跟函數(shù)的教學(xué)類似，函數(shù)研究方法剛才我們談到，不管是給解析式，還是給圖象，你要干嗎呢？要研究性質(zhì)。解析幾何絕對(duì)不是上來(lái)就算，而是要研究 幾何 特征，從圖形，從方程，從數(shù)值上去研究幾何特點(diǎn) ，再進(jìn)行代數(shù)化 ， 最后 得出代數(shù)集。 高考考察解析幾何的時(shí)候，往往很關(guān)注這門學(xué)科的思維特征的，不 會(huì)拿解析幾何 作為一個(gè)送分題，如果咱們說(shuō)有送分題的話，是要看你對(duì)這個(gè)學(xué)科的理解是不是到位了。 例題 6 直線 21ax by??與圓 221xy??相交于 ,AB兩點(diǎn)，且 AOB 是直角三角形，則點(diǎn) ( , )Pab 與 (0,1) 的距離最大值 __________。 我們來(lái)看一個(gè)例子，這是海淀的 10 年的，第一屆課標(biāo)版的高考的海淀 一模文科 第八題。 函數(shù)和解析幾何兩種 思路其實(shí)都有意義。如果用函數(shù) ， 就 是認(rèn)為這個(gè)最值是由坐標(biāo)產(chǎn)生的， 所以這個(gè)距離呢，可以用 a、 b 表達(dá)出來(lái)， 22( 1)d a b? ? ? 。 就需要找到 a、 b 的等量關(guān)系，得代換，不能兩個(gè)變量，兩個(gè)自變量 。 他們的等量關(guān)系在哪兒呢？就在第一句話中去找，什么叫做直線和 圓相交于 A、 B 得到直角三角形。這個(gè)時(shí)候又回到我們剛才那個(gè)圖形分析中了， 要分析 幾何含義，不要上來(lái)就 計(jì)算 。 別急著用弦長(zhǎng)公式， 那么 O 點(diǎn)到 AB 距離，這才是最好用的一個(gè)辦法 , 12OC AB? 。那這樣的話， 0 到直線距離不 就是 22 嗎？馬上就可以找到一個(gè) a、b 的等量關(guān)系。好，那也就是 22ab??，從而找剛才那個(gè)解析式，包括定域，自變量的范圍都找到了。用函數(shù)的想法就解決了 ， 當(dāng)然，計(jì)算量稍大一點(diǎn)。但我覺得這個(gè)也是我們值得學(xué)生掌握的一種代法。如果要從解析幾何的角度來(lái)看呢，那我就要找點(diǎn) A、 B 規(guī)律，軌跡。同樣你還是要找 A、 B 滿足的等量關(guān)系，也就是還是剛才的那個(gè)方程， 22ab??， 意味著什么呢？其實(shí)就是 a 不就是橫坐標(biāo)，b 不就是縱坐標(biāo)嗎，相當(dāng)于這個(gè)點(diǎn)滿足 22 12yx ??，是個(gè)橢圓。這時(shí)就把這個(gè)最值問題產(chǎn)生了又一個(gè)代數(shù)的一個(gè)數(shù)值的變化，最后變成一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的變化 ， 當(dāng)然就要用到軌跡了。 這 實(shí)際上是一個(gè)立著的橢圓 ， (0,1) 點(diǎn)也有他的特征了 ， 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) 。所以 橢圓 上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn) 距離的最大值，或者是最小值都一目了然 了 。 所以如果我們的學(xué)生經(jīng)過(guò)我們的解析幾何的教育教學(xué)，能夠建立起這種學(xué)科的觀點(diǎn)，學(xué)科的修養(yǎng)的話，這說(shuō)明他會(huì)想一個(gè)問題了，他可以從變量的角度想，也可以從一個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)去想問題，這就是我們要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)。 三、 如何進(jìn)行有效的觀念性教學(xué) 真正有意義的教學(xué)是觀念性的教學(xué) 。 縱觀我們的數(shù)學(xué)課堂，我認(rèn)為 數(shù)學(xué)教學(xué)可以分為兩類：一類是圖解知識(shí)的教學(xué)。上這種課的數(shù)學(xué)教師不能說(shuō)不努力備課，不鉆研教材，但他的教學(xué)水平是停留在怎樣把課本的概念講得再清楚一些，讓學(xué)生記住、會(huì)應(yīng)用，并通過(guò)大量的練習(xí)讓學(xué)生掌握。做這樣的老師的學(xué)生，很少能夠感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂。 還 有一類數(shù)學(xué)課堂是教給學(xué)生觀念的，這樣的數(shù)學(xué)課能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的快樂。這種快樂是思維的快樂，是邏輯的快樂。教師的責(zé)任不是讓學(xué)生的數(shù)學(xué)考試考高分，如果有人這樣認(rèn)為的話，那是對(duì)自己為之工作一生的職業(yè)的誤解，也是對(duì)自己存在價(jià)值的褻瀆！數(shù)學(xué)教師要能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，要讓 學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問題，通過(guò)你的數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生能夠?yàn)檫壿嫷牧α克鄯鶅A倒！數(shù)學(xué)考試得高分不是我們教學(xué)的目的，讓學(xué)生真正從內(nèi)心喜歡思考、喜歡數(shù)學(xué)、學(xué)生的思維具有邏輯性才是我們數(shù)學(xué)教師存在的價(jià)值。 我認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該 是“觀念性”的 ，我將這種教學(xué)稱為“觀念性的教學(xué)”。學(xué)生可能在上課之前沒有形成一個(gè)很好的觀念，或者有一個(gè)錯(cuò)誤的觀念，那么我們必須去 改變 。上一部分，我講了若干數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)案例與題型，就是為了讓大家感受到數(shù)學(xué)思維的核心價(jià)值。 如何才能進(jìn)行有效的觀念性教學(xué)呢 ？以下是我總結(jié)的幾條途徑與關(guān)鍵點(diǎn)： 1. 教學(xué) 富有意義前提是 為了讓 學(xué)生能夠理解問題 如果上課僅僅是做題，講解解題過(guò)程，而沒有講知識(shí)的本質(zhì)，沒有給學(xué)生揭示出思維層次的東西，那么學(xué)生很難達(dá)到對(duì)具體知識(shí)的深刻理解。我們的課堂教學(xué)不是為了把正確的解題過(guò)程或者正確的思想完全“復(fù)制”到學(xué)生的頭腦中。 但是 我們常常看到一些學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是停留在記結(jié)論，記公式，套用一些解題的方法，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解很淺薄，不深入，看不到數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的東西，掌握不了數(shù)學(xué)思考問題的思維方式。 例如在平移變換中僅記住“左加右減”口訣，在三角函數(shù)伸縮變換中僅知道 y=sin2x 可以縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)兩倍得到y(tǒng)=si