基于統計特征的不等長間歇過程故障診斷研究本科畢業論文(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 合我們稱之為主元，線性組合的維數稱之為主元個數。 沈陽化工大學學士學位論文 第 二 章 MPCA 在間歇反應過程故障診斷中的應用 7 主元分析的基本原理 前面已經提到， PCA 的目的就是“降噪”和“去冗余”。“降噪”的目的就是使保留下來的維度間的相關性盡可能小，而“去冗余”的目的就是使保留下來的維度含有的“能量”即方差盡可能大。首先，要知道各維度間的相關性以及個維度上的方差，能同時表現不同維度間的相關性以及各個維度上的方差的數 據結構就是非協方差矩陣。協方差矩陣度量的是維度與維度之間的關系，而非樣本與樣本之間。協方差矩陣的主對角線上的元素是各個維度上的方差 (可以稱之為能量 )元素是兩兩維度間的協方差 (即相關性 )。通過矩陣對角化進行降噪，消除各變量間相關性，而對角化后得到的矩陣，其對角線上是協方差矩陣的特征值，它有兩個身份：首先，它還是各個維度上的新方差；其次，它是各個維度本身應該擁有的能量 (能量的概念伴隨特征值而來 )。通過對角化后，剩余維度間的相關性已經減到最弱，已經不會再受“噪聲”的影響。“降噪”后開始“去冗余”。對角化后的協方差 矩陣，對角線上較小的新方差對應的就是那些該去掉的維度 [12]。 現在只取那些含有較大能量 (特征值 )的維度，其余的就舍掉即可。 PCA 的本質其實就是對角化協方差矩陣。 主元個數的提取 累計方差貢獻率法作為一種可適應于所有的情況方法，成為確定主元個數的通用方法。主元貢獻率法因其簡單、直觀、方便等特點，在很多文章中得到了采用，在本文中也主要采用這種方法，用來確定主元個數。 累計方差貢獻率（ Cumulative Percent Variance, CPV）法是根據主元方差的累計和百分比來確定主元個數。累計 方差貢獻率反映了所確定的主元模型反映原數據信息的程度。由于數據矩陣主元方差等價于協方差矩陣的特征值，所以也把矩陣 X 的協方差矩陣的前 k 個特征值的和除以它的所有特征值的和稱為 X 的前k 個主元的累計貢獻率，它表示了前 k 個主元所解釋的數據變化占全部數據變化的比例。因此前 k個主元的累計貢獻率 CPV 可以表示為 [1]： 沈陽化工大學學士學位論文 第 二 章 MPCA 在間歇反應過程故障診斷中的應用 8 ?????niiiCPV1k1i?? () 其中 i? 為第 i 個特征值。 當 k 個主成分的累積貢獻率超過一定的指標后（一般85%足夠），我們就可以認為已求的主元個數 k 可以綜合原數據足夠多的信息。 主元模型 假設 X 是一個 nm? 的數據矩陣，其中的每一列對應于一個變量，每一行對應于一個樣本。矩陣 X 可以分解為 n 個向量的外積之和，即 1 1 2 2 nnX t p t p t p? ? ?? ? ? () 在式 ()中， mi Rt? 被稱為得分 (score)向量， ni Rp? 稱為負荷 (Loading)向量。 X 的得分向量也叫做 X 的主元。式 ()也可寫為下列矩陣形式： X TP?? () 其中 ? ?12, , , mt t t?? 稱為得分矩陣， ? ?np,p,pP ?21? 稱為負荷矩陣。 各個得分 向量之間是正交的，即對任何 i 和 j ，當 ij? 時，滿足 0ijtt? ? 。各個負荷向量之間也是互相正交的，同時每個負荷向量的長度都為 1，即 0?jTi pp ji? () 1?jTi pp ji? () 當矩陣 X 中的變量間存在一定程度的線性相關時，數據 X 的變化將主要體現在最前面的幾個負荷向量方向上，數據矩陣 X 在最后面的幾個負荷向量上的投影將會很小，它們主要是由于測量噪聲引起的。這樣就可以將矩陣 X 進行主元分解后寫成下式 [3]： 1 1 2 2 kkX t p t p t p E? ? ?? ? ? ? ? () 式中 E 為誤差矩陣，代表 X 在 1?ap 到 np 等負荷向量方向上的變化。 所謂的主元模型，指的是對來自正常穩態工況下的訓練集進行主元分析后得到的一系列統計信息，主要包括：變量均值向量、變量方差矩陣 ?D 、協方差矩陣? 、主元方差矩陣 ?D 、負荷矩陣 P 以及主元數 k 等。將反映過程正常運行的歷史沈陽化工大學學士學位論文 第 二 章 MPCA 在間歇反應過程故障診斷中的應用 9 數據收集起來，對這些數據進行主元分析，建立主元模型。由于主元分析的結果受數據尺度的影響，因此在進行主元分析時，需要先將數據標準化，即將每個變量的均值減掉然 后除以它的標準差。即 [6]： ，ｎ???? ,2,1,))(( )( 2/1* iXV a r XEXX i iii () 這樣原數據集就變換為均值為 0, 方差為 1的標準數據集。 對標準化后的數據進行主元分析，如果只取前 k 個主元，那么可以得到下面的主元模型 [14]： 1 1 2 2 k k pX t p t p t p E X E? ? ?? ? ? ? ? ? ? () 式中 1 1 2 2p k kX t p t p t p? ? ?? ? ? ? () 1ATTA A i iiX T P t p???? () 原測量數據集可表示為 X X E?? () 從式 () 可以看出原正常工況下的歷史數據集可分解為兩部分 , 即一部分信息投影到主元子空間中 , 另一部分則投影到殘差子空間。這樣 , 如果原系統中存在著大量的冗余 , 那么利用 A 個方向向量確定的子空間 , 即 PCA 空間 , 就能對系統進行很好的描述 , 而 PCA 子空間代表 X的特征空間 , X 是 X 很好的估計。 基于 MPCA 的故障檢測方法 MPCA 理論 MPCA 是主元分析法（ PCA）在三維數據陣的擴展上的應用 [1]。對于間歇反應過程來說，其數據樣本通常可以看作為一個三維的立體數據塊 , 節中介紹的主元分析法（ PCA）只能用來處理二維數據，而處理一個這樣的三維立體數據塊，一個有效的想法就是對其進行重新排列。 MPCA 的基本思想是將一個三維的立體數據塊X 沿著時間軸方向進行切分，然后將切分得到的數據時間片依次向右水平排 列，如此構成了一個新的二維數據陣，然后使用主元分析方法進行分析 [6]。 不同于連續生沈陽化工大學學士學位論文 第 二 章 MPCA 在間歇反應過程故障診斷中的應用 10 產過程，間歇過程的歷史生產數據以批次為單位構成三維數據矩陣，批次 (I)? 變量 (J)? 時間 (K)，如圖 [8]。 圖 MPCA 數據矩陣沿時間軸分解圖 如圖 所示 ,每一時間點上都是二維數據 ,如果大量采集正常批次的數據樣本 ,那么它們代表了在不同的時間序列中不同的批次的相同變量的統計特性。通常統計控制指標有以下 3 種 ,它包括預 Q 統計量 ,得分 Score 和 HotellingT2統計量。 基于 MPCA故障檢測的統計量及其控制限 故障檢測是多元統計過程監控的第一步，通常用 2T 統計量和 Q 統計量以及得分 Score 來進行故障檢測 [1]。 (1)Score imi iji xp??? 1t () (2)Q 統計量（預測誤差平方和 SPE） Q 統計量衡量樣本向量在殘差空間投影的變化， Q 統計量通常也稱為 SPE 統計量，其計算式為 ? ? xPPIxPPIQ TTT )()( ??? () Q 統計量的閾值計算式可以近似為 X(1) X(2) X(3) X(K) 變量 (J) 1 J 2J KJ 時間 (K) 批次 (I) 沈陽化工大學學士學位論文 第 二 章 MPCA 在間歇反應過程故障診斷中的應用 11 220 02 1/2 2 0 01 211( 1 )1)ch hhh? ????? ?? ?? ? ?（ () 其中， 20 1 11 ( 1 , 2 , 3 ) , 1 2 3 / 3m iijjA ih? ? ? ? ???? ? ? ??， ? 為 X 的協方差矩陣 ? 的特征值， A為 PCA 模型的主元個數， m為樣本的維數。 統計量 SPE 在第 i 時刻的值 ie 是一個標量 ,它刻畫了此時刻測量值 XI 對主元模型的偏離程度 ,由于由多個變量的綜合作用而成 ,因而 SPE 圖可以同時對多變量工況進行監控 [6]。 (3)Hotelling 的 2T 統計量 [7] Hotelling 的 2T 統計量由下式給出： 2 1 2x TTT P P x T??? ? ? () 其中 ? ?1 , Adiag ???? ，表示置信度為 ? 的控制限。假設過程正常運行時的樣本服從多元正態分布，那么可以按下式計算控制限 : ?? 。,22)( )1n( AnAFAnnAT ???? () 其中 ,。An AF ?? 是指自由度帶為 A 和 nA 的 F 分布 的置信水平為 1? 的分位點。 分值向量 Score、 Q 統計量、 2T 統計量均可以對過程中的故障進行檢測。當 Q統計量 (即 SPE)發生較大變化時，說明 MPCA 統計模型所代表的正常工況下的變量關系被破壞，即該過程有故障發生；當 2T 統計量發生較大變化而 Q 統計量相對變化不明顯時，說明變量間的關系基本滿足，但過程工況發生了變換，即該過程有故障發生。 基于 MPCA的故障診斷方法 將采樣信息的分 值向量 Score、預測誤差 SPE、 Hotelling 2T 與正常工況下建立的統計數學模型比較 ,判斷其是否在置信區間或控制限內 ,是則為正常 ,否則為有故障存在 [14]；在各自的時間序列上建立統計模型 ,將新批次的數據向模型空間投影 ,通過判斷與模型的擬和程度即可以診斷出反應過程是否有故障發生 [1]。由 可以看出， MPCA 將每一批完整的數據看作間歇處理過程的一次采樣，多批數據構成沈陽化工大學學士學位論文 第 二 章 MPCA 在間歇反應過程故障診斷中的應用 12 樣本集合 ,并在此樣本集合上進行 PCA 分析。以上特點決定了 MPCA 在應用于實際監控 時會出現采樣數據不完善的問題；因為在批處理進行過程中，只有當前時刻及以前的數據是已知的，這些數據不足以構成對間歇過程的一次完整采樣。Nomikos 提出了解決該問題的數種方法，基本思想均是設法預測過程變量的未來輸出。常用的方法包括： 1) 補充數據為全 0，即認為以后的數據不偏離平均軌跡，這種方法的缺點是對故障不夠敏感，將延遲發現故障的時間。 2) 補充數據為當前歸一化采樣值，即認為以后的數據偏離平均軌跡的程度和當前時刻相同，這種方法的缺點是對故障會過于敏感，增加誤報的概率。 本章小結 本章的內容主 要包括兩大部分，第一部分是對 PCA 方法的基本介紹；第二部分 介紹了 MPCA 理論，并對該理論進行了一定的分析，以及 MPCA 方法在 故障診斷的應用。 在第 一部分中，簡單介紹了主元分析方法的意義、基本原理以及主元個數的提取方法。在第二部分內容中，介紹了基于 MPCA 進行故障診斷的基本方法，建立統計模型，計算統計量以及控制限的方法。