通信工程畢業設計-基于matlab的iir數字濾波器設計(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ，即是直接 Ⅰ型和直接 Ⅱ 型結構。 級聯型：此形式中，把系統的傳遞函數 H(z)因式分解成二階子系統，每個子系統叫做二階環節，因此系統的傳遞函數可表示成這些二階環節的乘積形式。每個二階環節以直接形式出現，整個系統的傳遞函數由二階環節的級聯實現。 并聯型：此形式與級聯的形式類似，但因式分解后，是用部分分式展開把 H(z)表示成二階子系統的和，每一個子系統由直接形式實現。整個系統的傳遞函數以子 系統的并聯網絡實現。 以下對這三種主要結構做具體介紹。 直接 I 型 從（ 28）式的差分方程可以看出，系統的輸出 y(n)由兩個部分構成： 第一部分是 ?? ?Mk k knxb0 )( ，表示將輸入信號進行延時，組成 M 節的延時網絡，把每節延時抽頭與常系數 kb 相乘，然后再把結果相加，這是一個橫向結構網絡。即實現零點的網絡。 8 第二部分為 ?? ?N1k )( knyak ，表示將輸出信號進行延時，組成 N節的延時網絡，把每節延時抽頭后與常系數 ka 相乘，然后再把結果相加。由于這部分是對輸出的延時，故為反饋網絡，這部分網絡實現極點。 系統的輸出 y(n)由以上這兩部分組成，其信號流程圖如圖 23所示。該圖表示的是直接Ⅰ 型 IIR 系統的結構。 圖 23 直接 Ⅰ 型 直接 II 型 圖 23 中的系數組 ib 相應于 H(z)的分 子多項式，而系數組 ia 相應于 H(z)的分母多項式。因此，圖 23 可以解釋為兩個系統的級聯組成。在線性時不變系統情況下，級聯型系統總的輸入 輸出關系和子系統的先后次序無關。如果先實現 H(z)的極點，后實現 H(z)的零點，并且合并 1?z 的支路，則可得出 IIR 系統直接 Ⅱ 型結構，其信號流圖如圖 24 所示。 直接 Ⅱ 型結構的 IIR 系統的表達式如式（ 211）所示： )()(11)(2110zHzHzazbzH NkkkMkkk ?????????????????????????? （ 211） 9 2a? 1a? 1?? NaNa? Nb?2b1b1?z ][ky1?z1?z1?z? 0bx [ k ] 圖 24 直接 Ⅱ 型 對于 N 階差分方程，直接 Ⅱ 型結構只需 N 個延時單元，比直接 Ⅰ 型結構的延時單元少一半。因而在軟件實現時可以節省存儲單元。而在硬件實現，可節省寄存器，故直接 Ⅱ 型IIR 系統結構好于直接 Ⅰ 型 IIR 系統結構。 直接型的共同缺點： 對濾波器的性能控制作用都不明顯。 極點對系數的變化很靈敏，容易出現不穩定或較大誤差。 運算的累積誤差大。 級聯型 直接形式網絡結構可直接由（ 210）式的系統函數得到 。如果把分子分母多項式都進行因式分解，則可將 H(z)寫成： ???????????????????????21211111111111)1)(1()1()1)(1()1()( NkkkNkkMkkkMkkzdzdzczhzhzgAzH （ 212） 式中的 21 2MMM ?? 和 21 2NNN ?? 。在式（ 212）中，一階因式表示實零點 kg 和實極點 kc 。而二階因式表示共軛零點 kh 和 ?kh ，以及共軛極點 kd 和 ?kd 。當在式（ 210）中的所有系數都為實數時，式（ 212）表示了該系統的極點和零點的分布。此式表示由一階與二階子系統級聯組成的一組結構形式。而我們已知，一個 N 階的系統函數可以10 用它的零、極點表示。由于 H(z)的系數均為實數，因此零、極點只有兩種可能，可能為實數，或者為復共軛對。則整個系統函數可以完全分解成實系數二階因子的形式，即 ?? ?? ?? ?? ??? cNkkkkk zaza zbzbAzH1 2211221111)( （ 213） 其中 cN 表示 (N+1)/2的最大整數。在此情況下我們已經假設 NM? ，在將 H(z)寫成此 形式時，假設實數極點和實數零點都已經合并，并具有奇數個數零點，則系統 kb2 有一個等于零。同樣，如果具有奇數個數極點，則系統 ka2 也有一個等于零。從前面對直接形式的討論知道，如果每個二階子系統用直接 Ⅱ 型實現，就可以得到使用存儲最少的級聯結構。 一個四階的系統的級聯結構如圖 25 所示： a 1 1 z 1 b 1 1 a 2 1 z 1 a 1 2 z 1 b 1 2 a 2 2 z 1b2 1 b 2 2Ax ( n ) y ( n ) 圖 25 四階 IIR 數字系統的級聯結構 應該特別指出： 級聯型結構的靈敏度特性優于直接型結構。 每一級分子的系數確定一對零點，分母的系數確定一對極點，由于子網絡的零極點也即整體網絡的零極點，所以整個系統的零極點都能準確的由每一級的系數來調整和控制，這樣便于調整濾波器的頻率響應性能。 級聯結構具有的存儲器最少。 并聯型 作為系統函數的另外一種表示形式，可以將 H(z)表示成如下形式的部分分式進行展開： ??? ? ?? ?? ?? ? ?? ????? 210 1 1*1 10 10 )1)(1( )1(1)( NkkkkkNk kkNkkk zpzp zeBzdAzGzH （ 214） 11 由于在 式 (210)中的 H(z)系數為實數，因此，此式中各系數均為實數。如果 NM? ，則在式 (214)中不包括 ?? ?00NkkkzG 項。上式可以解釋為一階與二階系統的并聯組合。如果將實數極點成對組合，則可寫成 ?? ? ?? ?? ? ?? ??? ps Nk kk kkNk kk zaza zeezGzH 1 2211 1100 1)( (215) 對應的信號流程圖如圖 26 所示： G 1z 1G N sz N s a 1 1G 0z 1e 1 1e 0 1 a 2 1z 1e 0 P s a 1 P s a 2 P sz 1z 1e 1 P sx ( n ) y ( n ) 圖 26 N 階 IIR 數字系統的并聯結構 并聯支路的極點也是整個網絡的極點，而并聯支路的零點卻不是整個網絡的零點，因此并聯網絡能獨立的調整系統的極點位置，但不能控制零點。并聯結構的靈敏度優于直接型，運算累積誤差比級聯型小 [7]。 12 第 3 章 IIR 數字濾波器的設計方法 IIR數字濾波器是一種離散時間系統，其系統函數為： )()(1)(10zXzYzazbzH NkkkMkkk????????? 假設 M≤N，當 M＞ N時 ,系統函數可以看作一個 IIR的子系統和一個 (MN)的 FIR子系統的級聯。 IIR數字濾波器的設計實際上是求解濾波器的系數 ka 和 kb ，它是數學上的一種逼近問題，即在規定意義上（通常采用最小均方誤差準則）去逼近系統的特性。如果在 S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在 z平面上去逼近，就得到數字濾波器。 用脈沖相應不變法設計 IIR 數字濾波器 利用模擬濾波器來設計數字濾波器，也就是使數字濾波器能模仿模擬濾波器的 特性，這種模仿可以從不同的角度出發。脈沖響應不變法是從濾波器的脈沖響應出發，使數字濾波器的單位脈沖響應序列 h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應 ha(t)，即將 ha(t)進行等間隔采樣，使h(n)正好等于 ha(t)的采樣值，滿足 h(n)=ha(nT)，式中 ,T 是采樣周期。 如果令 Ha(s)是 ha(t)的拉普拉斯變換， H(z)為 h(n)的 Z 變換，利用采樣序列的 Z 變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關系得（ 31）式： ? ????? ????? ????? k ksaez TjsXTjksXTzX sT )2(1)(1)( ? (31) 由圖 1 可看出，脈沖響應不變法將模擬濾波器的 S平面變換成數字濾波器的 Z 面，這個從 s 到 z 的變換 sTez? 是從 S 平面變換到 Z 平面的標準變換關系式。 13 圖 31 脈沖響應不變法的映射關系 由（ 31）式，數字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關系為： ???????k aj T kjHTeH )2(1)( ??? (32) 這就是 說，數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且帶限于折疊頻率以內時，即： 0)( ??? jH a 2sT???? ? (33) 才能使數字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內重現模擬濾波器的頻 率響應，而不產生混疊失真，即： )(1)( TjHTeH aj ??? ??? (34) 但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的，變換后就會產生周期延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的混疊失真，如圖 32所示。這時數字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊 失真就越小。這時，采用脈沖響應不變法設計的數字濾波器才能得到良好的效果。 14 圖 32 脈沖響應不變法中的頻響混疊現象 對某一模擬濾波器的單位沖激響應 ha(t)進行采樣，采樣頻率為 fs，若使 fs 增加，即令采樣時間間隔（ T=1/fs）減小，則系統頻率響應各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應的混疊效應。 脈沖響應不變法優缺點 從以上討論可以看出，脈沖響應不變法使得數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率 Ω和數字頻率 ω之間呈線性關系 ω=ΩT。因而 ，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數字濾波器。 脈沖響應不變法的最大缺點是有頻率響應的混疊效應。所以，脈沖響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器 (例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器 )，而且高頻衰減越快，混疊效應越小。 用雙線性變換法設計 IIR 數字濾波器 脈沖響應不變法的主要缺點是產生頻率響應的混疊失真。這是因為從 S 平面到Ｚ平面是多值的映射關系所造成的。為了克服這一個缺點，可以采用非線性頻率壓縮的方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到 π/T～ π/T 之間，再用 z=esT 轉換到 Z 平面上。也就是說，第一步先將整個 S 平面壓縮映射到 S1 平面的 π/T～ π/T 一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系 z=es1T 將此橫帶變換到整個 Z平面上去。這樣就使 S 平面與 Z 平面建立了一一對應的單值關系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現象，映射關系如圖 3 所示。 15 圖 33 雙線性變換的映射關系 為了將 S 平面的整個虛軸 jΩ壓縮到 S1 平面 jΩ1軸上的 π/T到 π/T段上， 可以通過以下的正切變換實現 )2tan(2 1TT ??? （ 35） 式中 ,T 仍是采樣間隔。 當 Ω1由 π/T 經過 0 變化到 π/T 時， Ω由 ∞經過 0 變化到 +∞，也即映射了整個 jΩ軸。將式（ 35）寫成 2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTj ????????? 將此關系解析延拓到整個 S 平面和 S1 平面，令 sj ?? ， 11 sj ?? ，則得 TsTsTsTsTsTseeTTsTee eeTs 111111112)2t a n(22 12/2/2/2/????????????? 再將 S1平面通過以下標準變換關系映射到 Z平面 Tsez 1? 從而得到 S平面和 Z平面的單值映射關系為： 11112??????zzTs （ 36） sTsTsTsTz?????? 222121 （ 37） 式（ 36）與式（ 37）是 S 平面與 Z 平面之間的單值映射關系，這種變