汽車保險的數學模型研究本科畢業論文(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 份保單的索賠次數頻率不相同 .在保險實踐中，盡管大多數險種都對保險人根據某些先驗變量進行了分組，而且在選擇這些先驗變量時希望他們能盡可能地反映被保險人的風險水平 .但任何先驗變量總是有一定缺陷的 .因此，被劃入同一組的保單仍然不可避免地存在某種程度的非同質性，這就使得泊松模型失去了應用的前提 .常用的非同質風險次數模型主要有 :負二 項分布模型、泊松 — 逆高斯模型、二元風險模型、三元風險模型、 二項 — 貝塔分布模型、負二項 — 貝塔分布模型等等 .孟生旺 [12]不但討論了這些保單組合的精算模型的均值、方差、偏度系數等，對于相關性保單組合利用概率母函數方法分別討論了當每次事故引發的索賠次數 iM 服從對數分布 、 泊松分布、二項分布、負二項分布以及截尾負二項分布情況下的均值、方差、偏度系數等性質 . 在某些險種中，保單的索賠之間有一定的傳染性，也就是說，一次索賠的發生可能會增加 (或減少 )下次發生索賠的可能性 .傳染的形勢多種多樣，孟生旺 [2]討論了索賠頻率之間存在線性傳 染關系的情況 . 索賠次數模型是多種多樣的，而索賠次數模型的選擇往往依賴于數據的具體形式一般而言，提供的數據越豐富，所能擬合的模型就越復雜，擬合效果就越好 . 常見的索賠額模型分布模型主要有指數分布、伽瑪分布、對數正態分布、Pareto 分布、廣義 Pareto 分布、 weibull 分布、對數伽瑪分布、變換伽瑪分布等 [2]，孟生旺 [2]討論了通貨膨脹對索賠額模型的影響 . NCD 系統研究現狀 自保險公司采用 NCD 以來，精算師們就沒有停止過對 NCD 的研究 .在理論上，主要表現在兩個方面 :一方面是基于索賠次數的 NCD 理論研究 。另一方面是同時考慮索賠大小的 NCD 理論研究 .而且，在基于索賠次數的 NCD 理論研究中也包括兩大 級 :一 級 是只利用后驗信息的 NCD 研究 。另一 級 是同時考慮先驗信息的 NCD 理論研究 .同樣，考慮索賠大小的 NCD 的研究也包括這兩 級 .相對于基 6 于索賠次數的 NCD，有關考慮索賠大小的 NCD 的研究要少的多 .在下面內容里，我們將分兩個方面來綜述 . (1)基于索賠次數的 NCD 的理論研究 早在 1962 年， Marcel 就開始了無賠款優待問題的研究，并用期望索賠次數創建了無賠款折扣費率表 .在 1964 年， Bichsel和 Buhlinann 等系統地提出了期望值保費原理，也就是每個投保人所繳納的保費與他的未知索賠次數成正比 .后來， Jean Lemaire 在假設投保人的索賠次數服從負二項分布的基礎上，根據期望值原理和 Gerber 提出的指數效用原理，創建了獎懲系數表 .因為 Lemaire 當時利用的是每個投保人未知索賠次數的估計值，而不是他的真實索賠次數，因此，在實際操作時，往往會給保險公司帶來損失 .在設計這個 NCD 時， Lemaire 利用的索賠次數的估計值是一個最優估計值，也就是使得保險公司損失最小時索賠次數的估計值 .十多年以后， Lmaire 又用平方差損失函數和期望值保費計算原理，以及用負二項分布作為索賠頻率的擬合分布函數獲得了一個最優 Tremblay 在1992 年用平方差損失函數和零效用保費計算原理，以及用泊松 — 逆高斯分布為索賠頻率的擬合分布函數獲得了一個最優 ， 和 仍然根據期望值原理和零效用原理，假設索賠次數服從非參數分布模型創建了最有獎懲系統，同時他們還將其與參數復合分布下的 NCD 做了比較 .在國內，有關NCD 的研究主要是基于后驗信息，對此做出主要貢獻的是孟生旺 [12]，在文獻 [12]中，孟生旺根據期望值原理、半方差原理、方差原理、標準差原理、零效用原理等，同時假設索賠次數服從混合負二項模型、二項 — 貝塔模型，以及其他復合泊松模型，比較系統地創建了一系列最優 發散 ，孟生旺和袁衛 [3]利用負二項 — 帕雷托分布創建了最優 ，雖然采用了不同的定價原理，同時做了不同損失分布的假設，產生了不同效果的獎懲系統，但是他們的基本原理相同，都是基于后驗信息索賠次數的 NCD. 當然，在基于索賠次數的 NCD 的理論研究領域中，還有很多人做了不少工作，如 Jean Pinquet 研究了有無過失事故的 NCD 等 . (2)考慮索賠大小的 NCD 的理論研究 雖然精算師們早就認識到了基于索賠次數的 NCD 的不足，但是，到目前為止，有關考慮索賠大小的 NCD 的研究工作還是比較少 .這當然與基于索賠次數的 NCD自身的優勢有關，因為它比較簡單、直觀、操作方便 .另外索賠次數也能代表投保人的 絕大部分 風險 .盡管如此，在最近幾年，國外還是出現了幾篇有關考慮索賠大小的 NCD 的頗有價值的文獻，如 Jean Pinquet， Nicholas 和 Spyridon 的文章 .在前兩篇文章中， Pinquet 以獨有的方式，利用 提出的具有協變量的索賠模 7 型，創建了同時考慮索賠次數與索賠大小的異方差模型，然后通過求異方差模型的參數，得出了三種獎懲系數，但此模型數學化程度很高，很難在實際操作中使用 .而 Niehola 和 Spyridon 的主要工作也是將索賠次數與索賠大小一同考慮在 NCD 里，但是他們假設索賠大小與索賠次數相互獨立 .另外 ,Nicholas 和 Spyridon 還有一個貢獻就是建立 了一個廣義 NCD 模型 .在此模型中，他們同時考慮了投保人的先驗信息，也就是投保人的特征 . 在國內，有關考慮索賠大小的工作更是少之又少 .孟生旺 [12]在他的博士論文中首先涉及到了這方面的工作，他側重的是在不同分布、不同保費原理下的考慮索賠大小的 、方差原理以及標準差原理，研究了在負二項 — 帕雷托損失模型、負二項 — 對數正態損失模型以及負二項 — 伽瑪損失模型下的 [16]的主要工作是，在假設索賠次數服從負二項 —廣義帕雷托分布、索賠大小服從指數 — 伽瑪分布以及索賠次數與索賠大 小相互獨立的前提下，根據期望值原理和期望值 — 方差原理，計算出了獎懲系數 . 研究內容與目標 利用某保險公司在開展汽車保險業務中所積累的具體數值資料 ,綜合考慮投保者心理、保費、賠償金額、返回額以及宣傳力度等因素 ,應用數理統計與數學實驗的方法 ,建立一個汽車保險的簡單實用的數學模型 ， 對模型進行求解和應用，并對得到的結論進行解釋 . 第二章 汽車保險的 數學模型 問題的分析 題目所要 解決 的問題是實行安全法規后該汽車保險公司所制定的保險費的變化情況 .社會保險的作用就在于分擔風險，汽車保險費由凈保費和附加保費兩部份構成 ，附加保費用于支付保險公司的各種開支，這部份費用可假定是不變的 ,因而問題的關鍵就在于凈保費的變化 .凈保費又 叫做風險保費，在數量上等于保險期間賠款的期望值 .因而通過對下一年的賠款期望值的估算來確定下一年的凈保費的金額 .而賠款期望值即人 均事故賠償費的估算涉及到總投保人數的估算和事故賠償費總額的估算 .雖然投保人數的變化與保險費的多少有關，但通過合理 8 的假設（每輛車都必須投保）以及在頒布法規的情況下各個保險公司的保險費都會發生相似的變化（就可以忽 略各 保險公司的競爭）可以得到投保人數的變化不依賴于保險費的變化 ,所以所要解 決的主要問題就是下一年的事故賠償費總額的估算和總投保人數的估算 .最后通過得到的各 級 的凈保費以及已知的該 級 的保險費折扣率來計算得到基本保險費 .模型建立部分分為兩個過程 ，首先解決沒有頒布法規的情況，再在此基礎上解決法規頒布了的情況 . 模型假設 1) 客戶被分成 0， 1， 2， 3 級，新客戶屬于 0 級 . 2) 假設一車一險，就是每年一輛汽車只能在一個公司投保 ,每輛新車必投保 . 3) 假設公司擴展穩定，基本支出費用不變 . 4) 每一 級 別中總投保人數等于續保人數與新投保人 數之和 . 5) 投保人除注銷外不會退出該保險公司而到其他保險公司投保 . 6) 注銷人數等于自動終止保險人數與自然死亡人數之和 . 7) 索賠人數等于受傷人數和死亡人數之和 . 8) 交通事故率， 注銷率不變 . 9) 每年的新投保人數按等比例增長 . 10) 實施安全法規后，事故發生率不變， 各級別 死亡率等比例下降 . 11) 每名司機每年最多只發生一次交通事故 . 12) 下一年平均修理費 ,死亡賠償費 不變 . 13) 注銷人平均所得到的償還退回金額不變 . 符號說明 t ： 實施安全法規后的當前年，如 t =1 表示實施法規的第一年 ( 1)iNt? : 上一年第 i 級 的總投保人數 9 ()iNt: 當前年第 i 級 的總投保人數 ()Nt新 ： 當年 新投保的人數 ()iNt索 ： 當前年第 i 級的索賠人數 i? ： 第 i 級 交通事故率 i? ： 實施安全法規前 第 i 級 死亡率 *i? ：實施安全法規后 第 i 級死亡率 i? ： 第 i 級 注銷率 ? ：新投保人數增長率 is : 第 i 級 的補貼比例 iB ： 第 i 級 平均死亡賠償費 B : 實施安全法規前總 死亡賠償費 *B : 實施安全法規后總 死亡賠償費 iC ： 第 i 級