高中數學蘇教版選修2-2第一章導數及其應用word導學案含解析(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 找到引用源。 g(6+Δt),當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 g(6+Δt)→ 3g=,即瞬時速度 v= m/s. [題后反思 ] 若求 t=3s 時的瞬時加速度呢 ? 變式 設一物體在 ts 內所經過的路程為 Sm,并且 S=4t2+2t3,試求物體分別在運動開始及第 5s 末的速度 . [規范板書 ] 解 在 t 到 t+Δt 的時間內 ,物體的平均速度為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =8t+2+4Δt,當 Δt→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → 8t+2,所以 ,時刻 ts 的瞬時速度為 8t+2,由題意 ,物體在第 5s末的瞬時速度是 42 m/s,在運動開始時的速度為 2 m/s. 【 例 3】 如果曲線 y=x3+x10 的某一切線與直線 y=4x+3 平行 ,求切點坐標與切線方程 .(見學生用書 P8) [處理建議 ] 曲線在某點的切線的斜率等于函數在切點處 的導數值 . [規范板書 ] 解 設切點坐標為 (x,x3+x10), 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =3x2+1+3xΔx+(Δx)2,當 Δx→ 0時 ,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→ 3x2+1, 由題得 ,3x2+1=4?x=1 或 1. 所以切點坐標為 (1,8),此時切線方程為 4xy12=0。或切點坐標為 (1,12),此時切線方程為 4xy8=0. 變式 已知曲線 y=x2 上過某一點的切線分別滿足下列條件 ,求此點 : (1) 平行于直線 y=4x5。 (2) 垂直于直線 2x6y+5=0。 (3) 與 x 軸成 135176。的傾斜角 . [處理建議 ] 利用導數的概念及兩直線的位置關系來求解 . [規范板書 ] 解 設 P(x0,y0)是滿足條件的點 . 錯誤 !未找到引用源 。 =錯誤 !未找到引用源。 =2x0+Δx,當 Δx→ 0 時 ,2x0+Δx→ 2x0. (1) 因為切線與直線 y=4x5 平行 ,所以 2x0=4?x0=2,y0=4,即 P(2,4). (2) 因為切線與直線 2x6y+5=0 垂直 ,所以 2x0錯誤 !未找到引用源。 =1?x0=錯誤 !未找到引用源。 ,即 P 錯誤 !未找到引用源。 . (3) 因為切線與 x軸成 135176。的傾斜角 ,所以 k=1,即 2x0=1?x0=錯誤 !未找到引用源。 ,即 P 錯誤 !未找到引用源。 ,錯誤 !未找到引用源。 . *【 例 4】 設函數 f(x)=x33ax2+3bx的圖象與直線 12x+y1=0 相切于點 (1,11),求 a,b的值 . [處理建議 ] 利用切點坐標既滿足曲線方程也滿足切線方程來求解 . [規范板書 ] 解 利用導數的定義可得 f39。(x)=3x26ax+3b,由于函數 f(x)=x33ax2+3bx的圖象與直線 12x+y1=0 相切于點 (1,11),所以 f(1)=11,f39。(1)=12,解得 a=1,b=3. 變式 已知 f(x)=ax4+bx2+c 的圖象過點 (0,1),且在 x=1 處的切線方程是 y=x2,求a,b,c. [處理建議 ] 利用導數的幾何意義 ——函數在某點處的導數就等于在該點處的切線的斜率 ——來求解 . [規范板書 ] 解 由題意有 錯誤 !未找到引用源。 解得 錯誤 !未找到引用源。 . 二、 課堂練習 1. 借助直尺 ,用割線逼近切線的方法作出下列曲線在點 P 處的切線 : (第 1 題 ) 解 (第 1 題 ) 2. 質點沿 x 軸運動 ,設距離為 x(m),時間為 t(s),x=10+5t2,則當 t0≤t≤t0+Δt時 ,質點的平均速度為 10t0+5Δt (m/s)。當 t=t0時 ,質點的瞬時速度為 10t0 (m/s)。當 t0≤t≤t0+Δt時 ,質點的平均加速度為 10 (m/s2)。當 t=t0 時 ,質點的瞬時加速度為 10 (m/s2). 提示 當 t0≤t≤t0+Δt 時 ,錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =10t0+5Δt(m/s)。 當 t=t0 時 ,質點的瞬時速度為 10t0(m/s)。 當 t0≤t≤t0+Δt 時 ,質點的平均加速度為 錯誤 !未找到引用源。 =10(m/s2)。當 t=t0 時 ,質點的瞬時加速度為 10(m/s2). 3. 已知曲線 y=x3 上過點 (2,8)的切線方程為 12xay16=0,則實數 a 的值為 1 . 提示 將點 (2,8)代入切線方程可得 a=1. 三、 課堂小結 1. 曲線上一點處的切線的求法 . 2. 運動物體的瞬時速度和瞬時加速度 ,學會用運動學的觀點理解和解決實際問題 . 3. 導數的定義及幾何意義 . 第 5 課時 瞬時變化率 ——導數 (2) 教學過程 一、 問題情境 跳水 運動員從 10m 跳臺騰空到入水的過程中 ,不同時刻的速度是不同的 .假設 ts 后運動員相對于水面的高度為 H(t)=++10,試確定運動員在某個時刻 t0的瞬時速度 .如果將上述問題中的函數 H(t)用 y=f(x)來表示 ,那么函數 y=f(x)在 x=x0處的瞬時變化率又該如何表示呢 ? 二、 數學建構 問題 1 高臺跳水運動中 ,運動員在某個時刻 t0 的瞬時速度如何表示 ? 解 如果當 Δt 無限趨近于 0 時 ,運動物體位移 h(t)的平均變化率 錯誤 !未找到引用源。無限趨近于一個常數 ,那么這個常數稱為物體在 錯誤 !未找到引用源。 時的瞬時速度 ,也就是位移對于時間的瞬時變化率 . 問題 2 將上述問題中的函數 H(t)用 y=f(x)來表示 ,那么函數 y=f(x)在 x=x0處的瞬時變化率又該如何表示呢 ? 解 如果當 Δx 無限趨近于 0 時 ,函數 y=f(x)的平均變化率 錯誤 !未找到引用源。 無限趨近于一個常數 ,那么這個常數稱為函數在 x=x0 處的瞬時變化率 . 概念生成 設函數 y=f(x)在區間 (a,b)上有定義 ,x0∈ (a,b),若 Δx 無限趨近于 0 時 ,比值 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 無限趨近于一個常數 A,則稱 f(x)在 x=x0 處可導 ,并稱該常數 A 為 f(x)在 x=x0 處的導數 ,記作 f39。(x0).[1] 鞏固概念 問題 3 導數 f39。(x0)的幾何意義是什么 ? 解 導數 f39。(x0)的幾何意義是曲線 y=f(x)在點 P(x0,f(x0))處的切線的斜率 . 問題 4 通過概念中導數的形式能否概括出求 f(x)在 x=x0 處的導數的一般步驟 ? 解 ① 求 Δy。② 求 錯誤 !未找到引用源。 。③ 當 Δx 無限趨近于 0 時 ,比值 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 無限趨近于一個常數 A,則常數 A 即為 f(x)在 x=x0 處的導數 . 問題 5 f39。(x)是不是一個函數 ? 解 若函數 y=f(x)在區間 (a,b)內任一點都可導 ,則 f(x)在各點的導數也隨著自變量 x的變化而變化 ,因而也是自變量 x的函數 ,該函數稱為 f(x)的導函數 ,記作 f39。(x).在不引起混淆時 ,導函數 f39。(x)也稱為 f(x)的導數 . 問題 6 運動物體的位移 S(t)對于時間 t 的導數是什么 ? 運動物體的速度 v(t)對于時間t 的導數是什么 ? 解 瞬時速度是運動物體的位移 S(t)對于時間 t 的導數 ,瞬時加速度是運動物體的速度v(t)對于時間 t 的導數 . 問題 7 如何理解 f(x)在 x=x0 處 的導數 f39。(x0)? 解 f(x)在 x=x0 處的導數 f39。(x0)就是函數 f39。(x)在 x=x0 處的函數值 ,而不是 f(x0)的導數 . 三、 數學運用 【 例 1】 (教材第 13 頁例 3)已知 f(x)=x2+2.(見學生用書 P9) (1) 求 f(x)在 x=1 處的導數 。 (2) 求 f(x)在 x=a 處的導數 . [處理建議 ] 本題要求學生表述格式規范化 . [規范板書 ] 解 (1) 因為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =2+Δx, 當 Δx→ 0 時 ,2+Δx→ 2,所以 f(x)在 x=1 處的導數等于 2. (2) 因為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =2a+Δx, 當 Δx→ 0 時 ,2a+Δx→ 2a,所以 f(x)在 x=a 處的導數等于 2a. [題后反思 ] 鞏固強化導數的內涵 ,使學生理解導數概念的本質 .通過此例 ,我們由函數f(x)在 x=x0 處的導數引出函數在區間 (a,b)上的導函數的概念 . 變式 求函數 y=錯誤 !未找到引用源。 在 x=2 處的導數 . [規范板書 ] 解 因為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 , 當 Δx→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → 錯誤 !未找到引用源。 ,所以 f(x)在 x=2處的導數等于錯誤 !未找到引用源。 . 【 例 2】 在曲線 y=x3上一點 P處作切線 ,使該切線與直線 y=錯誤 !未找到引用源。 5垂直 ,求此切線的方程 .(見學生用書 P10) [處理建議 ] 曲線在某點的切線的斜率等于函數在切點處的導數值 ,本題結合兩垂直直線的斜率關系進行解題 . [規范板書 ] 解 設點 P(x,x3),錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =3x2+3xΔx+(Δx)2, 當 Δx→ 0 時 ,3x2+3xΔx+(Δx)2→ 3x2,所以 f(x)在點 P 處的導數等于 3x2. 由題可知 ,3x2=3?x=1 或 1,所以切線方程為 3xy2=0 或 3xy+2=0. [題后反思 ] 本題應利用導數的幾何意義解題 . 【 例 3】 已知 f(x)=x32x+1,求 f39。(x)及 f39。(2).(見學生用書 P10) [處理建議 ] 學生學習一種新的記號需要一個理解適應的過程 ,因此 ,對于本題 ,給予學生時間思考 . [規范板書 ] 解 因為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =3x22+3xΔx+(Δx)2, 當 Δx→ 0 時 ,3x22+3xΔx+(Δx)2→ 3x22,所以 f39。(x)=3x22,f39。(2)=10. [題后反思 ] f(x)在 x=2 處的導數 f39。(2)就是函數 f39。(x)在 x=2 處的函數值 . 變式 已知成本 c與產量 q的函數關系式為 c(q)=3q+4q2,則當產量 q=6時 ,求邊際成本c39。(6). [規范板書 ] 解 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =3+8q+4Δq,當 Δq→ 0時 ,3+8q+4Δq→ 3+8q,即 c39。(q)=3+8q,c39。(6)=51. [題后反思 ] c(x)在 x=a 處的導數 c39。(a)稱為生產規模為 a 時的邊際成本值 . *【 例 4】 已知 f(x)=f(x)對任意實數 x 都成立 ,且 f39。(x0)=k(k≠0),求 f39。(x0). [處理建議 ] 本題利用導數的概念進行推導 . [規范板書 ] 解 錯誤 !未找到引用源。 = 錯誤 !未找到引用源。 . 當 Δx→ 0 時 ,上式無限逼近于 f39。(x0),所以 f39。(x0)=k. 變式 已知 f(x+1)f(1)=2x2+x,求 f39。(1). [規范板書 ] 解 錯誤 !未找到引用源。 =2x+1, 當 x→ 0 時 ,2x+1→ 1,所以 f39。(1)=1. 四、 課堂練習 1. 設 f(x)=ax2+3,若 f39。(1)=2,則 a= 1 . 提示 f39。(x)=2ax,由 f39。(1)=2 得 a=1. 2. 函數 f(x)=2x2+3x 的導數為 f39。(x)=4x+3 . 提示 因為 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 =4x+3+2Δx. 當 Δx→ 0 時 ,4x+3+2Δx→ 4x+3,即 f39。(x)=4x+3. 3. 若函數 y=f(x)在點 x∈ (1,1)內的導函數為 f39。(x),則下列說法 正確的是 ④ .(填序號 ) ① 在 x=x0 處的導數為 f39。(x0)。 ② 在 x=1 處的導數為 f39。(1)。 ③ 在 x=1 處的導數為 f39。(1)。 ④ 在 x=0 處的導數為 f39。(0). 五、 課堂小結 1. 導數的幾何意義 . 2. 導數的物理意義 . 3. 由定義求導數的步驟 . 第 6課時 常見函數的導數 教學過程 一、 問題情境 前面我們用割線逼近切線的方法引入了導數的概念 ,那么 ,如何求函數的導數呢 ? 二、 數學建構 問題 1 回顧前面所學內容 ,能否歸納出求導數的一般步驟 ? 解 給定函數 y=f(x),計算 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 ,令 Δx→ 0 時 ,錯誤 !未找到引用源。 → A(x),則 f39。(x)=A(x). 活動 1 根據求導數的一般步驟 ,求下列函數的導數 . ① y=kx+b(k,b 為常數 ).