傳粉者共生的脈沖模型畢業論文(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ,b) 內第一次使 ( ) 0??? 的 x值機做 1x ，即 ? ?10m i n | ( x ) 0 , xx x x b?? ? ? ? 從而有 1(x) 0? ? ， 即 ? ? ? ?11=Y x y x ， ? ? 010,xx x x? ?? 于是必有 139。(x ) 0.? ? () 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業論文 8 另一方面，由（ ）與定理條件可知 1 1 1 1 11 1 1 139。( x ) ( x , Y ( x )) ( x , y )( x , y ) ( x , y ) 0Ff? ??? ? ? 這與（ ）式矛盾。定理得證。 初等奇點 [11] 平面線性系統的奇點在常微分方程課程中均有比較詳細的論述。這里，再作簡單的復習和歸納。 設有平面線性系統 dx a x b yxxd dtAy y d ydt c x d ydt? ???? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ????或 () 其中矩陣 .abAcd???????顯然，當且僅當 0abcd??????? 時，系統 ()有唯一的奇點 (0,0)O .為了研究軌線在奇點 O 鄰域內的定性結構，需要把系統 ()化為標準型。由線性代數的理論可以知道，存在矩陣 T ，使1TAT? 成為 Jordan標準型。從而可借助于非奇異線形變換 x Ty ??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? () 將系統 ()變為 1d T ATdt ?????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? () 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業論文 9 二維矩陣的 Jordan標準型不外乎有下列四種形式 1 1 12 1 10 0 0, , , ,0 1 0? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? 其中 1? 與 2? 為矩陣 A的兩個不同的實特征根，即特征方程 ? ? 2 0abD p qcd?? ? ???? ? ? ? ?? 的兩不同實根，其中 ? ? ,p a d q a d b c i??? ? ? ? ? ? 是此特征方程的一對共軛復數 .由此，可將系統 ()分成以下 5種情形討論。 （ 1） 20, 4 0q p q? ? ?（兩特征根為不同實根且同號） 這時 ()為 12ddtddt? ??? ??? ????? ??? () 其通解為 120???? 12,ttc e c e?????? () 當 ? ?00pq??，即 120, 0????時，奇點 O 漸近穩定；當 0p? ，即 120, 0????時，奇點 O 不穩定，這一事實也可以從解 ()看出。 進一步考察軌線在 O 點鄰域內的分布情況。首先由 ()容易看出 ? ?2121tckec ?????? 0?? 和 0?? 分別是系統 ()的軌線，由解 ()可見 ? ?2121tckec ?????? 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業論文 10 當 12??? 時，故除 =0? 外，其他軌線均切 ? 軸趨于原點；當 12??? 時，,.tk??? ?? 故除 =0? 外，其余軌線均切 ? 軸趨于原點。此時奇點 O 稱為正規結點，也簡稱為結點。 (2) 20, 4 0q p q? ? ?（特征根為重根） 這時有兩種可能情形； 1)系統 ()形如 12,.dddt dt??? ? ? ??? 其軌線方程顯然滿足 21cc??? 軌線均為進入或離開奇點 O 的平射線；這時奇點 O 稱為臨界結點 2）系統 ()形如 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業論文 11 11,.dddt dt??? ? ? ? ?? ? ? 其通解為 ? ?111 1 2,.ttc e c t c e????? ? ? 于是 ? ?121c t c tc?? ?? ? ?? ? ?? 且當 21ct c? 時 0?? ，即軌線在 21ct c? 過 ? 軸。故軌線均切 ? 軸與原點。這時奇點 O 稱為退化結點。 (3) 20, 4 0q p q? ? ?（兩共軛復特征根，且實部非零）這時系統） ()形如 , , 0 ,dd ad t d t???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? () 作極坐標變換 c o s , sin .rr? ? ? ??? 注意到 2,d d d r d d drrd t d t d t d t d t d t? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ()可化為 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業論文 12 ,.dr dardt dt? ?? ? ? () 從而通解為 1 2 1, , 0 .tr c e t c c? ??? ? ? ? ? () 由 ()或 ()均顯而易見，軌線為環繞 O 點的螺線。 0?? 穩定； 0?? 不穩定。 0?? ， ? 逆時針旋轉； 0,?? ? 順時針旋轉。這時奇點 O 為焦點。 (4) 0, 0qp??（特征根為共軛純虛根） 此時系統 ()形如 ,dddt dt???? ??? ? ? 軌線顯然是以原點為中心的同心圓族。當 0?? 時軌線沿逆時針方向旋轉；當0?? 時，軌線沿順時針方向旋轉。 (5) 0q? （特征根為異號實根）這時系統 ()仍為 ()形式，但 120.??? 由()可見， 0?? 與 0?? 均分別為軌線。再由 ()可見，當 t??? 時，或天津科技大學 20xx 屆本科生畢業論文 13 者 0, 。??? ?? 或者 , 0,???? ? 這時奇點 O 稱為鞍點。 BendixsonDulac判別法 [11] 考慮平面自治系統 ? ?? ?,dx P x ydtdy Q x ydt? ????? ??? () 設它滿足解的存在惟一性條件。 定義 設有系統 ()的閉軌線 ? ，若存在 0?? ，使系統 ()在 ? 的兩側鄰域 ? ?,S ?? 內的一切軌線均以 ? 為其 ?或 A 極限集，則稱 ? 為系統 ()的一個極限環。 定理 (BendixsonDulac判別法 ) 若 在 單 連 通 域 G 內 存 在 函 數? ? ? ?1,B x y C G? 使 ? ? ? ? ? ?0 ( 0 ) . ,B P B Q x y Gxy??? ? ? ??? () 且不在 G 的任一子區域內恒為零 ,則系統不存在全部位于 G 內的閉軌線和具有有限個奇點的奇異閉軌線。函數 ? ?,Bxy 常稱為 Dulac函數。 推論 若在單連通域 G 內。存在函數 ? ? ? ? ? ?1, , , ,E x y f x y C G?使 ? ? ? ? ? ? ? ?EP + 0 0 , ,EQ FFE P Q x y Gx y x y?? ????? ? ? ? ???? ? ? ??? () 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業論文 14 且不在 G 的任何子區域內恒為零，則系統 ()不存在全部位于 G 內的閉軌線和具有有限個奇點的奇異閉軌線。 定理 若在單區域 G 內 ? ?0 , , ,PQ x y Gxy??? ? ? 則系統 ()不存在全部位于 G 內的極限環。 推論 若在單連通域 G 內存在函數 ? ? ? ?1,x y C G? ? ，使 ? ? ? ? 0,PQxy?????? 即系統 ()在 G 內存在連續可微的積分因子 ? ?,xy? 則此系統不存在全部位于 G 內的極限環。 注：奇點外圍不存在閉軌線，否則，軌線與 x 軸或 y 軸相交。這與兩軌線不相交性矛盾。 Poincare 映射 [11] 設有平面系統 ? ? ? ?, , , , P, Q C ,kd x d yP x y Q x yd t d t? ? ? () k 為足夠大的正整數，并設 ? 是系統 () 的一條閉軌線，其方程為? ? ? ?,x x t y y t??， ??xt 與 ??yt 是周期為 T 的周期函數。 如圖 21，在 ? 上任意一點 0P 做 ? 的法線，正方向朝外，在 ? 的足夠小鄰域? ?,S ?? 的發現段必為無切線段。以下局限于 ? ?,S ?? 內討論。在法線段 AB 上任取一點 0Q ，設從 0P 到 0Q 的有向距離為 0n ,由解對初值的連續性可知 ,只要 S 是足夠小，從 0Q 出發的軌線繞 ? 一周后必再次與法線段相交于 1Q 點。記 0P 與 1Q 的有向距離為 ,n 于是 n 將是 0n 的函數，記作 ? ?0nn? 。 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業論文 15 定義 稱 1Q 為 0Q 的后繼點； ? ?0nn 為后繼函數，有時也稱 ? ? ? ?00N n n n? ,0n 為后繼函數。 定義 后繼函數 ? ?0n nn? 在 ? 的鄰域 ? ?,S ?? 內的法線 AB 上所給出的（由系統 ()的軌線所確定的點映射 ? ?00:nT n n? ，稱為 Poincare 映射。 后繼函數 [5] 定義 . 先定義 N上的一 個坐標軸 ,以直線 ? ?1x p h?? 與 x 軸的焦點? ?? ?1 ,0ph? 為坐標原點，正方向和單位長度與 y 軸所對應的意志，標記為 l 軸。對任意的 yN? ，存在 ? ? 0l y C? ，使得 ??ly為 y 在 N 上的一個坐標，若存在 1 ,tR?? 使得 ? ? ? ?? ?11, , , ,y t M y y t N? ? ??? ? ? ? 則稱 ??fy為 y 點后繼函數，其中 ? ? ? ? ? ?.f y l y l y??? 引理 后繼函數是連續的 后繼函數是微分方程的連續解 ? ?1,yt? 與脈沖連續函數 ??Iy的復合，既是兩連續函數的復合函數，故后繼函數是連續的。 引理 設連續動力系統 ? ?,IIX ，若存在相集中的兩點 12,y y N? 且? ?? ?12 0,AAy y y y? ? ? 使得后繼函數 ? ? ? ?120,f y f y ? 則在 12,yy之間必存在一點 ,PN? 使得 ? ? ? 則在兩點 12,yy之間必有過點 P 點階一周期解。 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業論文 16 狀態脈沖微分方程 [5] 定義 考慮狀態脈沖微分方程 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?12, , , , , , , , , , , , ,dx dyP x y Q x y x y M x ydt dtx f x y y f x y x y M x y? ? ? ???? ? ? ? ? ?? () 其中： ? ?,Mxy 和 ? ?,Nxy 為 ? ?2 ,R xy 平面上的直線或曲線， ? ?,Mxy 稱為脈沖集，? ?,Nxy 稱為相集。稱由狀態脈沖微分方程 ()定義的解映射所構成的“動力學系統”稱為“半連續動力系統”。記為： ? ?, , , ,fM?? 規定系統的映射初始點 0P 不能在脈沖集上， ? ?02 ,P R M x y? ? ? ? ? 為連續映射 , ? ?MN? ? ， ? 稱為脈沖映射。 定義 若相集 N 中存在一點 P ，且存在 1T 使得： ? ? ? ?11, , ,f P T Q M x y?? 其中 ? ?1,f PT 微 分動 力 系統 () 經 過時 間 1T 過點 P 的 軌 道 ，脈 沖映 射? ? ? ?? ?11,Q f P T P N??? ? ?則稱 ? ?1,f PT 為系統的階一周期解。 相似的 Poincare 準則 [11] 設 如下系統的 T? 周期解 ? ? ? ?,x t y y t??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?, , , , , 0, , y , , , 0d