構造函數法證明不等式的八種方法(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵。以下介紹構造函數法證明不等式的八種方法：移項法構造函數 【例1】 已知函數f(x)=ln(x+1)x，求證：當x1時，恒有11163。ln(x+1)163。x x+1作差法構造函數證明 【例2】已知函數f(x)=換元法構造函數證明【例3】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數n，不等式ln（從條件特征入手構造函數證明【例4】若函數y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf162。(x)－f(x)恒成立，且常數a，b滿足ab，求證：．af(a)bf(b)主元法構造函數1223x+：在區間(1,+165。)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)=x23的圖象的下方；111+1)23 +x)x,g(x)=xlnx 例．（全國）已知函數f(x)=ln((1)求函數f(x)的最大值；(2)設0ab,證明 ：0g(a)+g(b)2g（構造二階導數函數證明導數的單調性 例．已知函數f(x)=aexa+b)(ba) 2(1)若f(x)在R上為增函數,求a的取值范圍。(2)若a=1,求證:x＞0時,f(x)1+x（選用于冪指數函數不等式）例：證明當x0時,(1+x)例：證明當bae,證明abba【思維挑戰】（2007年，安徽卷）設a179。0,f(x)=x1lnx+2alnx22求證：當x1時，恒有xlnx2alnx+1，1+1xe1+x2（2007年，安徽卷）已知定義在正實數集上的函數f(x)=52122x+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a0，且b=a3alna，求證：f(x)179。g(x)22xb，求證：對任意的正數a、b，恒有lnalnb179。+xa已知函數f(x)=ln(1+x)（2007年，陜西卷）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf162。(x)f(x)≤0，對任意正數a、b，若a b，則必有（）（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)第四篇：構造函數證明不等式的八種方法[最終版]構造函數證明不等式的八種方法一、移項法構造函數例：已知函數f(x)=ln(x+1)x，求證：當x1時，但有1已知函數f(x)=aex1163。ln(x+1)163。x 1+x12x（1）若f(x)在R上為增函數，求a的取值范圍。2（2）若a=1，求證：x0時，f(x)1+x二、作差法構造函數證明1例：已知函數f(x)=x2+lnx，求證：在區間(1,+165。)上，函數f(x)的圖象在函數22g(x)=x3的圖象下方。3思想：抓住常規基本函數，利用函數草圖分析問題已知函數f(x)=n+lnx的圖象在點P(m,f(x))處的切線方程為y=x，設n（1）求證：當x179。1時，g(x)179。0恒成立；（2）試討論關于x的方g(x)=mx2lnx，xn程mxg(x)=x32ex2+tx根的個數。x換元法構造函數證明例：證明：對任意的正整數n，不等式ln(+1)證明：對任意的正整n，不等式ln(+1)已知函數f(x)=ln(ax+1)+xxax，（1）若321n11，都成立。n2n31n113都成立。2nn2為y=f(x)的極值點，求實數a3的值；（2）若y=f(x)在[1,+165。)上增函數，求實數a的取值范圍。（3）若a=1時，方程f(1x)(1x)3=b有實根，求實數b的取值范圍。x從條件特征入手構造函數證明例1 若函數y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf(x)f(x)恒成立，且常數a,b滿足39。ab，求證：af(a)bf(b)主元法構造函數(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx，（1）求函數f(x)的最大值；（2）設0ab，證明：0g(a)+g(b)2g（a+b)(ba)ln22構造二階導數函數證明導數的單調性例1：已知函數f(x)=aex12（1）若f(x)在R上為增函數，求a的取值范圍； x，2（2）若a=1，求證：x0時，f(x)1+x對數法構造函數（選用于冪指數函數不等式）例1：證明當x0時，(1+x)1+1xe1+x構造形似函數例1：證明當bae，證明ab已知m、n都是正整數，且1mn，證明：(1+m)(1+n)思維挑戰設a179。0，f(x)=x1lnx+2alnx，求證：當x1時，恒有xlnx2alnx+1已知定義在正實數數集上的函數f(x)=且b=已知函數f(x)=ln(1+x)f(x)是定義在(0,+165。)上的非負可導數，且滿足xf(x)f(x)163。0，對任意正數a、b，若ab，則必有（）(x)163。bf(a)(a)163。af(b)(a)163。f(b)(b)163。f(a)39。2nmba212x+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a0，252a3a2lna，求證：f(x)179。g(x)2xb，求證：對任意的正數a、b恒有lnalnb179。1 1+xa第五篇：構造法證明函數不等式構造法證明函數不等式利用導數研究函數的單調性極值和最值，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點．解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵．一、移項法構造函數【例1】已知函數f(x)=ln(x+1)x，求證：當x1時，恒有11163。ln(x+1)163。x