20xx全國大學生數學建模競賽寫作2(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ry]T，v=[vhvxvy]T分別表示著陸器相對期望著陸點的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對應控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認為是常值；m為著陸器質量，對應推力器質量排除系數a。指標函數：考慮燃料消耗min(m0mf)172。190。174。min242。0fTdt(2)邊界條件：即初始條件和終端條件r(0)=r0,v(0)=v0,m(0)=m0,r(tf)=v(tf)=[000](3)控制約束：考慮發動機一旦啟動不能關閉，存在最大和最小推力約束0T1TT2(4)狀態約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個下降段位于火星地平面以上，即rh179。0（5）進一步地，若著陸區域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿足需求時，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線約束到以著陸點為頂點的圓錐體內 等效后燃料最優精確著陸問題 定義等效變換變量Ttrx2+ry2rh163。tanqalt（6）u=a=TDm（7）d=Tmz=lnmDD等效著陸器運動方程： y=234。v==[uDT0249。233。r249。233。0234。v+234。I0234。234。30235。z234。235。07*7234。0249。233。u+g249。0234。=Acy+Bc(p+g4)（8）d235。ad],g4=[gTTD0]Tt指標函數：min242。0fd(t)dt（9）邊界條件：同式(3)?？刂萍s束：由文獻[10]可知，控制約束(4)可等效表示為u163。d1T1ez0[1(zz0)+(zz0)2]163。d163。T2ez0[1(zz0)]（10）（11）2狀態約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為TSy+cy163。0（12）其中233。0100000249。S=234。0010000235。c=[tanqaltT000000] 等效燃料最優精確著陸問題的離散化首先將整個飛行時間均分成 n 段（對應 n +1 個點），每段步長為Dt，離散化后的著陸器運動方程為：yk+1=Ayk+B(pk+g4)其中A206。R7180。7,B206。R7180。4分別為離散系統的系統矩陣和輸入矩陣12A=eDtAc187。I3+DtAc+DtAc+L2DtDt112B=242。e(Dts)AcBcds=242。esAcdsBc=DtBc+DtBc+Dt2Bc+L0026其中I3為三階單位陣。有系統性質可知，整個控制時域內系統狀態滿足 y3=Ay2+B(p2+g4)=A3y0+A2B(p0+g4)+AB(p1+g4)+B(p2+g4)Myn=Ayn1+B(pn1+g4)=Any0+An1B(p0+g4)+L+AB(pn2+g4)+B(pn1+g4)y1=Ay0+B(p0+g4)y2=Ay1+B(p1+g4)=A2y0+AB(p0+g4)+B(pn2+g4)+B(p1+g4)為表達方便，令233。y0249。233。p0249。233。F0249。233。A0249。234。y234。p234。F234。1234。1234。1234。1234。A ,p=234。p2，F=234。F2=234。A2 Y=234。y2234。234。234。234。MM234。234。234。M234。Mn234。234。234。235。yn7(n+1)180。1235。pn4(n+1)180。1235。Fn234。235。A7(n+1)180。7233。Y0249。233。0234。Y234。B234。1234。234。Y234。ABY=234。2=234。2234。Y3234。AB234。M234。M234。234。n1234。A234。Yn235。235。則(15)可等價于0249。233。L0249。233。0249。234。L234。B01234。234。234。L2234。AB+BB000L==234。234。2 ABB00234。L3234。A+AB+B234。M234。MOOO0234。234。n1LA+L+AB+BLA2BABB234。234。n235。7(n+1)180。4(n+1)235。000000Y=Fy0+Yp+Lg4分別定義如下常值矩陣：最終可得離散化后的燃料最優化問題如下： 指標函數：式(9)可表示為邊界條件：式(3)可表示為控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為狀態約束：式(5)和式(12)分別可表示為含有 p個線性約束和 q個二階錐約束的最優化問題的標準形式為 指標函數min(lTx)滿足約束DTx+f179。0Ax+ci163。b+dinTiTi（k=1,L，n）n*pp其中x206。R為待優化向量，l206。R，線性約束參數D206。R,f206。R，二階錐約束參數維數n(Ai,bi,ci,di)由相應約束確定則式(17)～式(23)可最終轉換為如下最優化問題： 指標函數：min(vpp)滿足：初值約束:MxΨ0p+Mx(Ψ0y0)+A0g4r0末值約束:MxΨ0p+Mx(Ψ0y0)+A0g4控制約束:Murkp163。v182。rkp 控制上限:(vzΨk+TT[TTv0]T163。0163。0T1vr)p+1vTz(Φky0+Akg4)+z0,z179。0 z0dkT2e 控制下限：4數值仿真結果與分析本節以某火星著陸器為例，計算了典型初始條件下滿足各種約束的燃料最優精確著陸軌跡。其中探測器各參數分別取為：m0=2000kg,g=[]ms2,c=2kms,T1=,T2=13kN.。著陸器初始位置矢量r0= [1500,600, 800] m，初始速度矢量v0= [30, 10, 40]m/s，傾角qalt=86176。二階錐優化問題可以通過大量免費的優化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文選用 SDPT3 進行計算，通過執行線性搜索確定燃料最優下降時間tf為 43s，圖 1 給出了相應的最優著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測器質量變化曲線。由優化結果可以看出，探測器在給定時間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個下降過程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗證了下降傾角約束的有效性。其推力幅值曲線呈現“最大最小最大”的最優控制形式，不過為了保持發動機始終處于點火狀態，在中間段對應最小推力約束，這與文獻中的分析結論一致。此外，通過利用如 TOMLAB 等商業最優控制軟件進行復核計算，也驗證了此計算結果的燃料最優性能。*圖 1 給定初始條件下火星著陸器動力下降段燃料最優計算結果需要注意到，此燃料最優軌跡的獲取對著陸器的實時在線計算性能提出了較高的要求，經測試，無論使用何種優化工具，計算給定飛行任務時間的最優軌跡均需數秒，而全局最優則需要數十秒甚至更長，這在實際任務中是不允許的。因此，可行的方案是通過在地面計算大量的燃料最優軌跡，并尋找規律，選取關鍵路徑點狀態存儲到著陸器計算機中，通過在線查表或者在利用對計算量要求較小的反饋制導律完成安全著陸任務。因此，為了研究探測器燃料最優軌跡特性，選取相同的探測器參數，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從8000m 到 8000m 內取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。圖 2 各種不同初始速度對應的火星著陸器動力下降段燃料最優軌跡簇1)對任意探測器初始位置，特定初始速度對應的燃料最優著陸軌跡在末端必然收斂到一個固定的近似圓錐體內。2)取決于探測器初始位置和速度的關系，燃料最優軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對應于期望著陸點位置水平距離較大情況。3)當探測器初始水平速度為零時，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優軌線關于該軸線中心對稱。4)初始速度的大小也直接影響到任務的可靠性，因此需要在超聲速進入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內。上述結論對上注探測器關鍵點的選取有著較強的指導意義，比如基于最優軌線的斜率對路徑點合并、基于最優軌線簇的對稱性對上注軌線進行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉折點作為路徑點等，這樣可以大大降低探測器自主存儲與計算需求，進而有效提升任務的可靠性。重力轉彎軟著陸過程對于最終著陸點，假設探測器的下降軌跡在一平面內，且月球引力場為垂直于月面XY的均勻引力場，引力加速度g沿Z，如圖1所示，制動推力方向沿探測器的本體軸z。重力轉彎軟著陸過程中探測器質心動力學方程可表示為上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m0為探測器質量；k0為制動發動機比沖；u表示制動發動機的秒耗量可通過一定的機構加以調節，故作為軟著陸問題的控制變量。假定制動發動機的最大推力與初始質量比大于月面引力加速度，并且制動推進系統能夠在一定的初始條件下將探測器停止月面上。重力轉彎過程中，探測器的高度、速度和姿態角度可由雷達高度表、多普勒雷達及慣性儀表測得。令軟著陸初始條件探測器到達月面時速度減小到給定的值，故終端條件自由。軟著陸燃耗最優問題的描述 對于最終著陸段，可假設為一小角度。由此可將系統方程（1）化簡為要設計制導律實現軟著陸，就是使著陸時間對于月球軟著陸的燃耗最優控制問題，其性能指標可表示為對于系統（2）的軟著陸過程，燃耗最優問題等價于著陸時間最優問題，性能指標為在月球重力轉彎軟著陸過程中，如果存在一個推力控制程序將探測器從初始條件轉移到終端條件，并使性能指標（3）或（4）式最大，則稱這個推力程序為軟著陸燃耗最優或時間最優制導律。根據pontryagin極大值原理，系統的哈密頓函數及其對u的偏導數為使哈密頓函數（5）式達到極大地控制輸入u就是最優控制，科表示為。如果存在一個有限區間則最優控制u（t）取值不能由哈密頓函數確定。此時如果最優解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。最優制導問題的性質：1）對于自治系統（2）的時間最優控制問題，沿最優軌跡其哈密頓函數滿足將其對時間求導并將（2c）和（6c）式代入，得另外，由于自由，根據橫截條件有3）根據（6a）式。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據極大值原理，系統的狀態變量和共軛變量都是時間的連續可微函數，將切換函數對時間求導，利用（2），（6）式和性質2）得 軟著陸最優控制中奇異條件的分析對于月球重力轉彎軟著陸問題，最優制導律具有兩個很好的性質。定理一。月球重力轉彎軟著陸系統（2）的燃耗最優制導或時間最優制導問題不存在奇異條件。證明。用反證法，假設存在奇異條件，則在某個閉區間設，并由（5）式得。根據反正假將（10）式兩邊對時間求導，并將（2）和（6）式代入化簡得性質2），下面證明這兩種情形均與反證假設矛盾。根據式及性質2）可知，由性質3）必有根據是時間t的斜率非零的線性函數，）若定，根據橫截條件有在區間內為常數。這與反證假設矛盾。下面再分三種情況進行分析。又因為不與此時由（6b）式有反證假設矛盾。2）若盾。3），與反證假設矛又因為因此有成立，這與此時（10）式在上根據定理一，重力轉彎軟著陸的最優制導律是一種開關（BangBang）控制，只須控制發動機開關，不需要調節推力的大小。，其開關控制器的最優推力程序（7）最多進行一次切換。證明。只要證明最多只在一個時間點成立即可。軟著陸系統（2）在最優推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。由性質3）知，為常數。根據性質4），若嚴格單調，因而在上至多有一個零點，即至多進行一次切換；若，則上為常數。由定理1，5 軟著陸最優開關制導律不可能在任何區間上成立，故必有既沒有切換點。對于最優推力控制程序（7），其切換函數中含有共軛變量，它是一個關于狀態變量的穩式表達式。為實現實時制導，需求出關于狀態變量的切換函數來。根據定理一和定理二，重力轉彎軟著陸最優控制程序沒有奇異值狀態，并且在著陸過程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開；2）全關；3）先開有關；4）先關后開。對于方式1）軟著陸起始點即是開機點；方式2），3）不能