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初中數學競賽試題(編輯修改稿)

2025-09-06 10:20 本頁面

　

【文章內容簡介】 ODF← ∠ DOF=∠ DHB=∠ EHC=∠ EOG。競賽講座 03 同余式與不定方程同余式和不定方程是數論中古老而富有魅力的內容 .考慮數學競賽的需要 ,下面介紹有關的基本內容 . 1. 同余式及其應用定義 :設 a、 b、 m 為整數（ m＞ 0），若 a 和 b 被 m 除得的余數相同，則稱 a 和 b 對模m 同余 .記為或一切整數 n 可以按照某個自然數 m 作為除數的余數進行分類，即 n=pm+r（ r=0， 1， ? ，m1），恰好 m 個數類 .于是同余的概念可理解為 ,若對 n n2，有 n1=q1m+r， n2=q2m+r，那么 n n2 對模 m 的同余，即它們用 m 除所得的余數相等 . 利用整數的剩余類表示 ,可以證明同余式的下述簡單性質 : (1) 若 ,則 m|(ba).反過來 ,若 m|(ba),則。 (2) 如果 a=km+b(k 為整數 ),則。 (3) 每個整數恰與 0,1,? ， m1，這 m 個整數中的某一個對模 m 同余； (4) 同余關系是一種等價關系： ① 反身性； ② 對稱性，則，反之亦然 . ③ 傳遞性，，則；（ 5）如果，，則 ① ； ② 特別地應用同余式的上述性質，可以解決許多有關整數的問題 . 例 1（ 1898 年匈牙利奧林匹克競賽題）求使 2n+1 能被 3 整除的一切自然數 n. 解 ∵ ∴ 則 2n+1 ∴ 當 n 為奇數時， 2n+1 能被 3 整除；當 n 為偶數時， 2n+1 不能被 3 整除 . 例 2 求 2999最后兩位數碼 . 解考慮用 100 除 2999所得的余數 . ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴2 999的最后兩位數字為 88. 例 3 求證 31980+41981能被 5 整除 . 證明 ∵ ∴ ∴ ∴ 2．不定方程不定方程的問題主要有兩大類：判斷不定方程有無整數解或解的個數；如果不定方程有整數解，采取正確的方法，求出全部整數解 . (1) 不定方程解的判定如果方程的兩端對同一個模 m(常數 )不同余 ,顯然 ,這個方程必無整數解 .而方程如有解則解必為奇數、偶數兩種，因而可以在奇偶性分析的基礎上應用同余概念判定方程有無整數解 . 例 4 證明方程 2x25y2=7 無整數解 . 證明 ∵2x 2=5y2+7，顯然 y 為奇數 . ① 若 x 為偶數，則 ∴ ∵ 方程兩邊對同一整數 8 的余數不等， ∴x 不能為偶數 . ② 若 x 為奇數，則但 5y2+7 ∴x 不能為奇數 .因則原方程無整數解 . 說明 :用整數的整除性來判定方程有無整數解 ,是我們解答這類問題的常用方法 . 例 5 (第 14 屆美國數學邀請賽題 )不存在整數 x,y 使方程 ① 證明如果有整數 x， y 使方程 ① 成立，則 = 知（ 2x+3y2） +5 能被 17 整除 . 設 2x+3y=17n+a，其中 a 是 0， 177。1 ， 177。2 ， 177。3 ， 177。4 ， 177。5 ， 177。6 ， 177。7 ， 177。8 中的某個數，但是這時（ 2x+3y） 2+5=（ 17n） 2+34na+（ a2+5） =a2+5（ mod17），而 a2+5 被17 整除得的余數分別是 5， 6， 9， 14， 4， 13， 7， 3， 1，即在任何情況下（ 2x+3y）2+5 都不能被 17 整除，這與它能被 17 整除矛盾 .故不存在整數 x， y 使 ① 成立 . 例 7 （第 33 屆美國數學競賽題）滿足方程 x2+y2=x3的正整數對（ x， y）的個數是（） . （ A） 0 （ B） 1（ C） 2（ D）無限個（ E）上述結論都不對

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