高考數學曲線方程及圓錐曲線的綜合問題(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 x－ 3),其中 k≠0. 當 y2=2x 得 ky2－ 2y－ 6k=0,則 y1y2=－ 6. y=k(x－ 3) 又 ∵ x1=21y21 , x2=21y22 , ∴ OBOA? =x1x2+y1y2=21221 )(41 yyyy ?=3. 綜上所述 , 命題 “如果直線 l 過點 T(3,0),那么 OBOA? =3”是真命題 . 第 15 頁 共 35 頁 ② 逆命題是：設直線 l 交拋物線 y2=2x 于 A、 B 兩點 ,如果 OBOA? =3,那么該直線過點 T(3,0).該命題是假命題 . 例如：取拋物線上的點 A(2,2),B(21,1),此時 OBOA? =3, 直線 AB 的方程為 Y=32(X+1),而 T(3,0)不在直線 AB 上 . 點評 ：由拋物線 y2=2x 上的點 A(x1,y1)、 B(x12,y2)滿足 OBOA? =3,可得 y1y2=－ 6。 或y1y2=2， 如果 y1y2=－ 6， 可證得直線 AB 過點 (3,0)；如果 y1y2=2, 可證得直線 AB 過點 (－1,0),而不過點 (3,0)。 例 6．（ 1）（ 06 北京文， 19） 橢圓 C: 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的兩個焦點為 F1,F2,點 P在橢圓 C 上，且1 1 2 1 24 1 4, | | , | | .33P F F F P F P F? ? ? （Ⅰ）求橢圓 C 的方程； （Ⅱ）若直線 l 過圓 x2+y2+4x2y=0 的圓心，交橢圓 C 于 ,AB兩點，且 A、 B 關于點M 對稱，求直線 l 的方程 。 （ 2）（ 06 江蘇， 17） 已知三點 P（ 5， 2）、 1F （－ 6， 0）、 2F （ 6， 0）。 （Ⅰ）求以 1F 、 2F 為焦點且過點 P 的橢圓的標準方程； （Ⅱ）設點 P、 1F 、 2F 關于直線 y＝ x 的對稱點分別為 P? 、 39。1F 、 39。2F ，求以 39。1F 、 39。2F為焦點且過點 P? 的雙曲線的標準方程。 解析：（ 1） 解法一： (Ⅰ )因為點 P 在橢圓 C 上，所以 62 21 ??? PFPFa ，a=3. 在 Rt△ PF1F2 中， ,52212221 ??? PFPFFF故橢圓的半焦距 c= 5 ，從而 b2=a2－ c2=4，所以橢圓 C 的方程為 49 22 yx ? ＝ 1。 (Ⅱ )設 A， B 的坐標分別為（ x1,y1）、（ x2,y2）。 O 第 16 頁 共 35 頁 已知圓的方程為（ x+2） 2+(y－ 1)2=5,所以圓心 M 的坐標為（ － 2， 1） . 從而可設直線 l 的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓 C 的方程得 （ 4+9k2） x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－ 27=0. 因為 A， B 關于點 M 對稱 . 所以 .294 9182 2221 ??? ???? k kkxx 解得98?k， 所以直線 l 的方程為 ,1)2(98 ??? xy 即 8x9y+25=0. (經檢驗，所求直線方程符合題意 ) 解法二： (Ⅰ )同解法一 . (Ⅱ )已知圓的方程為（ x+2） 2+(y－ 1)2=5,所以圓心 M 的坐標為（ － 2， 1） . 設 A， B 的坐標分別為（ x1,y1） ,(x2,y2).由題意 x1? x2 且 ,1492121 ?? yx ① ,1492222 ?? yx ② 由① － ②得： .04 ))((9 ))(( 21212121 ?????? yyyyxxxx ③ 因為 A、 B 關于點 M 對稱，所以 x1+ x2=－ 4， y1+ y2=2。 代入③得2121 xx yy ?? ＝ 98 ，即直線 l 的斜率為 98 ，所以直線 l 的方程為 y－ 1＝ 98 （ x+2）， 即 8x－ 9y+25=0。 (經檢驗，所求直線方程符合題意 .) （ 2 ） ①由題意可設所求橢圓的標準方程為 221xyab??(ab0),其半焦距c=6, 2 2 2 2122 1 1 2 1 2 6 5a P F P F? ? ? ? ? ? ?∴ 35a? ,b2=a2c2=9。 第 17 頁 共 35 頁 所以所求橢圓的標準方程為 22145 9xy?? ② 點 P(5,2)、 F1(6,0)、 F2(6,0)關于直線 y=x 的對稱點分別為點 P， (2， 5)、 F1， (0， 6)、F2， (0， 6)。 設所求雙曲線的標準方程為 22112211 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?。 由題意知，半焦距 c1=6， 2 2 2 21 1 22 1 1 2 1 2 4 5a P F P F????? ? ? ? ? ? ?。 1 25a ? ,b12=c12a12=3620=16. 所以所求雙曲線的標準方程為 22120 16xy??。 點評： 本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標準方程、幾何性質等基礎知識和基本運算能力。 題型 4：知識交匯題 例 7．（ 06 遼寧 ,20） 已知點 11( , )Ax y , 22( , )Bx y 12( 0)xx? 是拋物線 2 2 ( 0)y px p??上的兩個動點 , O 是坐標原點 ,向量 OA ,OB 滿足 O A O B O A O B? ? ?.設圓 C 的方程為 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? (I) 證明線段 AB 是圓 C 的直徑 。 (II)當圓 C 的圓心到直線 X2Y=0 的距離的最小值為 255時，求 p 的值。 解析： (I)證明 1: 22, ( ) ( )O A O B O A O B O A O B O A O B? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 222O A O A O B O B O A O A O B O B? ? ? ? ? ? ? 整理得 : 0OA OB?? 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? ? 設 M(x,y)是以線段 AB 為直徑的圓上的任意一點 ,則 0MA MB?? 即 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y y? ? ? ? ? ? 第 18 頁 共 35 頁 整理得 : 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? 故線段 AB 是圓 C 的直徑 證明 2: 22, ( ) ( )O A O B O A O B O A O B O A O B? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 222O A O A O B O B O A O A O B O B? ? ? ? ? ? ? 整理得 : 0OA OB?? 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? ?…… ..(1) 設 (x,y)是以線段 AB 為直徑的圓上則 即 21121 ( , )y y y y x x x xx x x x??? ? ? ? ? 去分母得 : 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y y? ? ? ? ? ? 點 1 1 1 2 2 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , ) ( , )x y x y x y x y滿足上方程 ,展開并將 (1)代入得 : 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? 故線段 AB 是圓 C 的直徑 證明 3: 22, ( ) ( )O A O B O A O B O A O B O A O B? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 222O A O A O B O B O A O A O B O B? ? ? ? ? ? ? 整理得 : 0OA OB?? 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? ?…… (1) 以線段 AB 為直徑的圓的方程為 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 21( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2 2 4x x y yx y x x y y??? ? ? ? ? ? ? 展開并將 (1)代入得 : 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y? ? ? ? ? ? 故線段 AB 是圓 C 的直徑 (II)解法 1:設圓 C 的圓心為 C(x,y),則 第 19 頁 共 35 頁 121222xxxyyy?? ???? ????? 221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p? ? ? 221212 24yyxx p?? 又因 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? 1 2 1 2x x y y? ? ? ? ? 221212 24yyyy p?? ? ? 1 2 1 20 , 0x x y y? ? ? ? ? 212 4y y p? ? ?? 2 2 2 21 2 1 21 2 1 2 1 211( ) ( 2 )2 4 4 4x x y yx y y y y y yp p p?? ? ? ? ? ? ? 221 ( 2 )ypp?? 所以圓心的軌跡方程為 222y px p?? 設圓心 C 到直線 x2y=0 的距離為 d,則 22 221| ( 2 ) 2 || 2 | | 2 2 |5 5 5y p yx y y py ppd p??? ? ?? ? ? 22| ( ) |5y p pp??? 第 20 頁 共 35 頁 當 y=p 時 ,d 有最小值5p,由題設得 2555p ? 2p??. 解法 2: 設圓 C 的圓心為 C(x,y),則 121222xxxyyy?? ???? ????? 221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p? ? ? 221212 24yyxx p?? 又因 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? 1 2 1 2x x y y? ? ? ? ? 221212 24yyyy p?? ? ? 1 2 1 20 , 0x x y y? ? ? ? ? 212 4y y p? ? ?? 2 2 2 21 2 1 21 2 1 2 1 211( ) ( 2 )2 4 4 4x x y yx y y y y y yp p p?? ? ? ? ? ? ? 221 ( 2 )ypp?? 所以圓心的軌跡方程為 222y px p?? 設直線 x2y+m=0 到直線 x2y=0 的距離為 255 ,則 2m?? 第 21 頁 共 35 頁 因為 x2y+2=0 與 222y px p?? 無公共點 , 所以當 x2y2=0 與 222y px p?? 僅有一個公共點時 ,該點到直線 x2y=0 的距離最小值為255 222 2 0 (2 )2 (3)xyy p x p? ? ??? ??? 將 (2)代入 (3)得 222 2 2 0y p y p p? ? ? ? 224 4( 2 2 ) 0p p p? ? ? ? ? ? ??? 解法 3: 設圓 C 的圓心為 C(x,y),則 121222xxxyyy?? ???? ????? 圓心 C 到 直線 x2y=0 的距離為 d,則 12 12| ( ) |25xx yyd? ??? 221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p? ? ? 221212 24yyxx p?? 又因 1 2 1 2 0x x y y? ? ? ? 1 2 1 2x x y y? ? ? ? ? 第 22 頁 共 35 頁 221212 24yyyy p?? ? ? 1 2 1 20 , 0x x y y? ? ? ? ? 212 4y y p? ? ?? 221 2 1 2 2 2 21 2 1 2 1 21| ( ) ( ) || 2 4 ( ) 8 |45 4 5y y y y y y y y p y y ppd p? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2212( 2 ) 445y y p pp? ? ?? 當 122y y p?? 時 ,d 有最小值5p,由題設得 2555p ? 2p??. 點評：本小題考查了平面向量的基本運算 ,圓與拋物線的方程 .點到直線的距離公式等基礎知識 ,