高中數學函數概念與基本性質考點分析(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 中 c )( ?? c 是該物體初次清洗后的清潔度。 (Ⅰ )分別求出方案甲以及 ?c 時 方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少； (Ⅱ )若采用 方案乙 , 當 a 為某固定值時 , 如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最小 ? 并討論 a 取不同數值時對最少 總用水量多少的影響。 解： (Ⅰ )設方案甲與方案乙的用水量分別為 x 與 z。 由題設有 1xx??=，解得 x=19。 由 ? 得方案乙初次用水量為 3, 第二次用水量 y 滿足方程 : ,yaya? ??解得 y=4a ,故 z=4a + 兩種方案 的用水量分別為 19 與 4a +3。 因為當 1 3 , 4 ( 4 ) 0 ,a x z a x z? ? ? ? ? ? ?時 即,故 方案乙的用水量較少。 第 13 頁 共 29 頁 （ II）設初次與第二次清洗的用水量分別為 x 與 y ，類似（ I）得 545(1 )cx c?? ? ， (99 100 )y a c??（ *） 于是 545(1 )cxy c??? ?+ (99 100 )ac? 1 1 0 0 (1 ) 15 (1 ) a c ac? ? ? ? ?? 當 a 為定值時 , 12 1 0 0 ( 1 ) 1 4 5 15 ( 1 )x y a c a a ac? ? ? ? ? ? ? ? ? ??, 當且僅當 1 1 0 0 (1 )5 (1 ) acc ???時等號 成立。 此時 111 ( ) 1 ( 0 . 8 , 0 . 9 9 ) ,1 0 5 1 0 5ccaa? ? ? ? ?不 合 題 意 , 舍 去 或 將 1110 5c a??代入 （ *）式得 2 5 1 1 , 2 5 .x a a y a a? ? ? ? ? ? 故 1110 5c a??時 總用水量最少 , 此時 第一次與第二次 用水量 分別為 2 5 1 2 5a a a??與 ， 最少總用水量是 ( ) 4 5 1T a a a? ? ? ?。 當 39。 251 3 , ( ) 1 0a T aa? ? ? ? ?時, 故 T(a )是增函數 (也可以用二次函數的單調性判斷 )。這說明 ,隨著 a 的值的最少總用水量 , 最少總用水量最少總用水量。 點評： 本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準確建立數 學模型，把實際問題轉化為數學問題并加以解決。該題典型代表高考的方向。 題型 7：課標創新題 例 10．（ 1） 設 dcxbxaxxxf ????? 234)( ，其中 a、 b、 c、 d 是常數。 如果 ,30)3(,20)2(,10)1( ??? fff 求 的值)6()10( ?? ff ； （ 2）若不等式 )1(12 2 ??? xmx 對滿足 22 ??? m 的所有 m 都成立，求 x 的取值范圍。 第 14 頁 共 29 頁 解：（ 1）構造函數 ,10)()( xxfxg ?? 則 ,0)3()2()1( ??? ggg 故： .810460)6)(36)(26)(16(100 )10)(310)(210)(110()6()10( ???????????? ??????? r mff （ 2）原不等式可化為 .0)12()1( 2 ???? xmx 構造函數 )22)(12()1()( 2 ??????? mxmxmf ，其圖象是一條線段。 根據題意，只須： ?????????????????,0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22xxfxxf 即 ????? ??? ??? .0122 ,032222xxxx 解得 2 312 71 ????? x 。 點評：上面兩個題目通過重新構造函數解決了實際問題，體現了函數的工具作用。 五．思維總結 “函數”是數學中最重要的概念之一，學習函數的概念首先要掌握函數三要素的基本內容與方法。 由給定函數解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的 x 的取值范圍新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/它依賴于對各種式的認識與解不等式技能的熟練 。 1． 求函數解析式的題型有： （ 1） 已知函數類型，求函數的解析式：待定系數法 ； （ 2） 已知 ()fx求 [ ( )]f g x 或已知 [ ( )]f g x 求 ()fx：換元法、配湊法 ； （ 3）已知函數圖像，求函數解析式； （ 4） ()fx滿足某個等式，這個等式除 ()fx外還有其他未知量，需構造另個等式：解方程組法 ； （ 5）應用題求函數解析式常用方法有 待定系數法等 。 2． 求函數定義域一般有三類問題： （ 1）給出函數解析式的：函數的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合； （ 2）實際問題：函數的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題有意義； （ 3）已知 ()fx的定義域求 [ ( )]f g x 的定義域或已知 [ ( )]f g x 的定義域求 ()fx的定義域 ： 第 15 頁 共 29 頁 ① 掌握基本初等函數（尤其是分式函數、無理函數、對數函數、三角函數）的定義域； ②若已知 ()fx的定義域 ? ?,ab ，其復合函數 ? ?()f g x 的定義域應由 ()a g x b??解出 。 3． 求函數值域的各種方法 函數的值域是由其對應法則和定義域共同決定的 。 其類型依解析式的特點分可分三類： (1)求常見函數值域； (2)求由常見函數復合而成的函數的值域； (3)求由常見函數作某些“運算”而得函數的值域 。 ①直接法：利用常見函數的值域來求 一次函數 y=ax+b(a? 0)的定義域為 R，值域為 R； 反比例函數 )0( ?? kxky的定義域為 {x|x? 0}，值域為 {y|y? 0}； 二次函數 )0()( 2 ???? acbxaxxf 的定義域為 R， 當 a0 時，值域為 {a bacyy 4 )4(| 2??}； 當 a0 時，值域為 {a bacyy 4 )4(| 2??}。 ②配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特征來求值；常轉化為型如：),(,)( 2 nmxcbxaxxf ???? 的形式； ③分式轉化法（或改為“分離常數法”） ④換元法：通過變 量代換轉化為能求值域的函數，化歸思想； ⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數，運用三角函數有界性來求值域； ⑥基本不等式法：轉化成型如： )0( ??? kxkxy，利用平均值不等式公式來求值域； ⑦單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域 。 ⑧數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域 。 普通高中課程標準實驗教科書 — 數學 [人教版 ] 高三新 數學 第一輪復習教案（講座 3） — 函數的基本性質 一．課標要求 1． 通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性、最大（ 小）值及其幾何意義； 2． 結合具體函數，了解奇偶性的含義 ； 第 16 頁 共 29 頁 二．命題走向 從近幾年來看，函數性質是高考命題的主線索，不論是何種函數，必須與函數性質相關聯，因此在復習中，針對不同的函數類別及綜合情況，歸納出一定的復習線索。 預測 20xx 年高考的出題思路是：通過研究函數的定義域、值域，進而研究函數的單調性、奇偶性以及最值。 預測明年的對本講的考察是： （ 1）考察函數性質的選擇題 1 個或 1 個填空題，還可能結合導數出研究函數性質的大題； （ 2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數的性質，以組合形式、一題多角度考察函 數性質預計成為新的熱點。 三．要點精講 1．奇偶性 （ 1）定義：如果對于函數 f(x)定義域內的任意 x 都有 f(－ x)=－ f(x)，則稱 f(x)為奇函數；如果對于函數 f(x)定義域內的任意 x 都有 f(－ x)=f(x)，則稱 f(x)為偶函數。 如果函數 f(x)不具有上述性質，則 f(x)不具有奇偶性 .如果函數同時具有上述兩條性質，則 f(x)既是奇函數，又是偶函數。 注意： ○ 1 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質； ○ 2 由函數 的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個 x，則－ x 也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）。 （ 2）利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟： ○ 1 首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱； ○ 2 確定 f(－ x)與 f(x)的關系； ○ 3 作出相應結論： 若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，則 f(x)是偶函數； 若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0，則 f(x)是奇函數。 （ 3）簡單性質： ①圖象的對稱性質：一個函數是奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數是偶函數的充要條件是它的圖象關于 y 軸對稱； ② 設 ()fx， ()gx 的定義域分別是 12,DD，那么在它們的公共定義域上： 奇 +奇 =奇，奇 ? 奇 =偶，偶 +偶 =偶，偶 ? 偶 =偶，奇 ? 偶 =奇 2．單調性 （ 1）定義：一般地，設函數 y=f(x)的定義域為 I， 如果對于定義域 I 內的某個區間D 內的任意兩個自變量 x1， x2，當 x1x2 時，都有 f(x1)f(x2)（ f(x1)f(x2)），那么就說 f(x)在區間 D 上是增函數（減函數）； 注意： ○ 1 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質； ○ 2 必須是對于區間 D 內的任意兩個自 變量 x1， x2；當 x1x2 時，總有 f(x1)f(x2) 第 17 頁 共 29 頁 （ 2）如果函數 y=f(x)在某個區間上是增函數或是減函數，那么就說函數 y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間 D 叫做 y=f(x)的單調區間。 （ 3）設復合函數 y= f[g(x)]，其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定義域的某個區間， B 是映射 g : x→ u=g(x) 的象集： ①若 u=g(x) 在 A 上是增（或減）函數， y= f(u)在 B 上也是增（或減）函數，則函數y= f[g(x)]在 A 上是增函數； ②若 u=g(x)在 A 上是增（ 或減）函數，而 y= f(u)在 B 上是減（或增）函數，則函數y= f[g(x)]在 A 上是減函數。 （ 4）判斷函數單調性的方法步驟 利用定義證明函數 f(x)在給定的區間 D 上的單調性的一般步驟： ○ 1 任取 x1， x2∈ D，且 x1x2； ○ 2 作差 f(x1)－ f(x2)； ○ 3 變形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定號（即判斷差 f(x1)－ f(x2)的正負）； ○ 5 下結論 （即指出函數 f(x)在給定的區間 D 上的單調性）。 （ 5）簡單性質 ①奇函數在其對稱區間上的單調性相同； ②偶函數在其對稱區間上的單調性相反； ③在公共定義域內： 增函數 ?)(xf 增函數 )(xg 是增函數； 減函數 ?)(xf 減函數 )(xg 是減函數； 增函數 ?)(xf 減函數 )(xg 是增函 數； 減函數 ?)(xf 增函數 )(xg 是減函數 。 3．最值 （ 1）定義： 最大值：一般地，設函數 y=f(x)的定義域為 I，如果存在實數 M 滿足：①對于任意的x∈ I，都有 f(x)≤ M；②存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M。那么，稱 M 是函數 y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，設函數 y=f(x)的定義域為 I，如果存在實數 M 滿足：①對于任意的x∈ I，都有 f(x)≥ M；②存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M。那么，稱 M 是函數 y=f(x)的最大 值。 注意： ○ 1 函數最大（小）首先應該是某一個函數值，即存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M； ○ 2 函數最大（小）應該是所有函數值中最大（小）的，即對于任意的 x∈ I，都有 f(x)≤ M（ f(x)≥ M）。 （ 2）利用函數單調性的