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20xx高考數學一輪復習單元練習--空間向量與立體幾何-資料下載頁

2026-08-01 20:09本頁面

【導讀】2．在空間四邊形ABCD中，若ABa?中，AC與BD的交點為點M，設11111,,ABaADbAAc???中，設M、N分別為1,BBAC的中點，則MN等于(）。5．平面α，β的法向量分別是n1＝，n2＝，則平面α，β所成角的余弦值是(). 6．空間任意四個點A、B、C、D，則BACBCD??9．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為正方體內一動點，若＝x＋y＋z，且。10．在90°的二面角的棱上有A、B兩點，AC，BD分別在這個二面角的兩個面內，且都垂直于棱。12．如圖所示，在四面體P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－AP－C. 13．設a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝6i＋4j＋5k，其中i，j，k是空間向量。的一組基底，試用a1，a2，a3表示出a4，則a4＝____________.17．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.設n＝是平面PBC的法向量，(Ⅱ)在平行四邊形ABCD中，因為AB＝2BC，∠ABC=120°，如圖所示建立空間直角坐標系M—xyz，

　　

【正文】，則 B(1,1,0)， C(0,2,0)， S(0,0,2)． S＝ (0,2，－ 2)， B＝ (－ 1,1,0)．設平面 SBC 的法向量為 n＝ (a， b， c)，由 n⊥ S， n⊥ B，得 n178。 S＝ 0， n178。 B＝ 0. 故 2b－ 2c＝ 0，－ a＋ b＝ 0. 令 a＝ 1，則 b＝ 1， c＝ 1， n＝ (1,1,1)．又設 S＝λ (λ＞ 0)，則 E??? ???λ1＋λ ， λ1＋λ ， 21＋λ ， D＝ ??? ???λ1＋λ ， λ1＋λ ， 21＋λ ， D＝ (0,2,0)．設平面 CDE 的法向量 m＝ (x， y， z)，由 m⊥ DE ， m⊥ DC ，得 m178。 DE ＝ 0， m178。 DC ＝ 0. 故 λ x1＋λ ＋ λ y1＋λ ＋ 2z1＋λ ＝ 0,2y＝ 0. 令 x＝ 2，則 m＝ (2,0，－λ )．由平面 DEC⊥平面 SBC，得 m⊥ n 所以 m178。 n＝ 0,2－λ＝ 0，λ＝ SE＝ 2EB. (2)解由 (1)知 DE ＝ ?? ??23， 23， 23 ，取 DE 中點 F，則 F?? ??13， 13， 13 ， FA ＝ ?? ??23，－ 13，－ 13 ，故 FA 178。 DE ＝ 0，由此得 FA⊥ DE. 又 EC ＝ ?? ??－ 23， 43，－ 23 ，故 EC 178。 EC ＝ 0，由此得 EC⊥ DE，向量 F 與 E的夾角等于二面角 A－ DE－ C 的平面角．于是 cos〈 F， E〉＝FAECFAEC ＝－ 12，所以二面角 A－ DE－ C 的大小為 120176。 . 22．如圖 14－ 2，三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，∠ BCA＝ 90176。， AC＝ BC＝ 2， A1 在底面 ABC 上的射 178。 12178。影恰為 AC 的中點 D，又知 BA1⊥ AC1. (1)求證： AC1⊥平面 A1BC； (2)求二面角 A－ A1B－ C 的余弦值．圖 14－ 2 【答案】 (1)如圖，設 A1D＝ t(t0)，取 AB 的中點 E，則 DE∥ BC，因為 BC⊥ AC，所以 DE⊥ AC，又 A1D⊥平面 ABC，以 DE， DC， DA1 分別為 x， y， z 軸建立空間直角坐標系，則 A(0，－ 1,0)， C(0,1,0)， B(2,1,0)， A1(0,0， t)， C1(0,2， t)，＝ (0,3， t)，＝ (－ 2，－ 1， t)，＝ (2,0,0)，由 1178。＝ 0，知 AC1⊥ CB，又 BA1⊥ AC1， BA1∩ CB＝ B，所以 AC1⊥平面 A1BC. (2)由178。＝－ 3＋ t2＝ 0，得 t＝ 3．設平面 A1AB 的法向量為 n＝ (x， y， z)，＝ (0,1， 3)，＝ (2,2,0)，所以 { y＋ 3z＝ 0， 2x＋ 2y＝ 0，設 z＝ 1，則 n＝ ( 3，－ 3， 1)．再設平面 A1BC 的法向量為 m＝ (u， v， w)，＝ (0，－ 1， 3)，＝ (2,0,0)，所以 ??? － v＋ 3w＝ 0，2u＝ 0，設 w＝ 1，則 m＝ (0， 3， 1)．故 cos〈 m， n〉＝ m178。 n|m|178。 |n|＝－ 77 ．因為二面角 A－ A1B－ C 為銳角，所以可知二面角 A－ A1B－ C的余弦值為 77 ．

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