02高等數學講義汪誠義第二章-資料下載頁

【導讀】在點0x的某領域內有定義，自變量x在0x處有增量x?存在，則稱此極限值為函數)(xf在0x處的導數（也稱微商），記作0()fx?如果上面的極限不存在，則。在點0x處不可導。導數定義的另一等價形式，令xxx???我們也引進單側導數概念。在點0x處左、右導數皆存在且相等。在點（)處的切線的斜率。設物體作直線運動時路程S與時間t的函數關系為)(tfS?表示物體在時刻0t時的瞬時速度。中的主要線性部分xxA?在點))(,(000xfxM處切線的縱坐標相應的增量（見。也稱為微商，就是微分之商的含義。在點0x處的二階導數，記以。稱)(xf在點0x處二階可導。試確定a、b的值，使)(xf在點1?x處也是連續的。

　　

【正文】 a b b a a bf f a f a a f a??? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?. 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數學英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網盤 09 課程已經更新 44 2221( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,2 2 2 ! 2 2a b a b b a a bf f b f b b f b??? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?. 兩式相減，得 |)(39。39。)(39。39。|)(81|)()(| 212 ?? ffabafbf ???? |))(39。39。||)(39。39。(|21)(41212 ?? ffab ??? |})(39。39。||,)(39。39。m a x { |)(41212 ?? ffab ??. 所以至少存在一點 ),( ba?? ，使得 2( ) ( )| ( ) | 4 | |()f b f af ba? ??? ? ? 167。 導數的應用 （甲）內容要點 一、判斷函數的單調性 二、函數的極值 定義 設函數 ? ? ? ?baxf ,在 內有定義， 0x 是 ? ?ba, 內的某一點，則 如果點 0x 存在一個鄰域，使得對此鄰域內的任一點 ? ?0xxx ? ，總有 ? ? ? ?0xfxf ? ，則稱 ? ?0xf 為函數 ??xf 的一個極大值，稱 0x 為函數 ??xf 的一個極大值點； 如果點 0x 存在一個鄰域，使得對此鄰域內的任一點 ? ?0xxx ? ，總有 ? ? ? ?0xfxf ? ，則稱 ? ?0xf 為函數 ??xf 的一個極小值，稱 0x 為函數 ??xf 的一個極小值點。 函數的極大值與極小值統稱極值。極大值點與極小值點統稱極值點。 必要條件（可導情形） 設函數 ??xf 在 0x 處可導，且 0x 為 ??xf 的一個極值點，則 ? ?0 0fx? ? 我們稱滿足 ? ?0 0fx? ? 的 0x 為 ??xf 的駐點，可導函數的極值點一定是駐點，反之不然。 極值點只能是駐點或不可導點，所以只要從這兩種點中進一步去判斷。 第一充分條件 設 ??xf 在 0x 處連續，在 0 ??? 0xx 內可導， ? ?0fx? 不存在，或 ? ?0fx? ＝ 0 01 如果在 ? ?00 ,xx ?? 內的任一點 x處，有 ? ? 0fx? ? ，而在 ? ???00,xx 內的任一點 x該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數學英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網盤 09 課程已經更新 45 處，有 ? ? 0fx? ? ，則 ? ?0xf 為極大值， 0x 為極大值點； 02 如果在 ? ?00 ,xx ?? 內的任一點 x處，有 ? ? 0fx? ? ，而在 ? ???00,xx 內的任一點 x處，有 ? ? 0fx? ? ，則 ? ?0xf 為極小值， 0x 為極小值點； 03 如果在 ? ?00 ,xx ?? 內與 ? ???00,xx 內的任一點 x 處， ??fx? 的符號相同，那么? ?0xf 不是極值， 0x 不是極值點 第二充分條件 設函數 ??xf 在 0x 處有二階導數，且 ? ? 00 ?? xf ， ? ?0 0fx?? ? ，則 當 ? ?0 0fx?? ? ， ? ?0xf 為極大值， 0x 為極大值點 當 ? ?0 0fx?? ? ， ? ?0xf 為極小值， 0x 為極小值點 三、函數的最大值和最小值 1．求函數 )(xf 在 ],[ ba 上的最大值和最小值的方法。 首先，求出 )(xf 在 ),( ba 內所有駐點，和不可導點 kxx ...,1 。 其次計算 )(),(),(...,),( 1 bfafxfxf k 最后，比較 )(),(),(...,),( 1 bfafxfxf k ，其中最大者就是 )(xf 在 ],[ ba 上的最大值 M ；其中最小者就是 )(xf 在 ],[ ba 上的最小值 m 。 2．最大（小）值的應用問題 首先要列出應用問題中的目標函數及其考慮的區間，然后再求出目標函數在區間內的最大（小）值。 四、凹凸性與拐點 1．凹凸的定義 設 )(xf 在 區 間 Ⅰ 上 連 續 ， 若 對 任 意 不 同 的 兩 點 21,xx ， 恒 有)]()([21)2( 2121 xfxfxxf ??? （ )]()([21)2( 2121 xfxfxxf ??? ），則稱 )(xf 在 Ⅰ上是凸（凹）的 2．曲線上凹與凸的分界點，稱為曲線的拐點。 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數學英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網盤 09 課程已經更新 46 五、漸近線及其求法 六、函數作圖 七、曲率 （乙）典型例題 一、證明不等式 例 1．求證：當 0?x 時， 22 )1x(ln x)1( ???x 證：令 22 )1x(ln x)1x()x(f ???? 只需證明 0x? 時， 0)x(f ? 易知 0)1(f ? ， 1( ) 2 ln 2f x x x x x? ? ? ? ?， 0)1(f39。 ? ，由于 f(x)? 的符號不易判斷，故進一步考慮 21f ( x ) 2 ln x 1 x?? ? ? ?， f ( ) 2 0?? ?? 再考慮 232( x 1)f (x) x ???? ? 于是，當 1x0 ?? 時， ( ) 0fx??? ? ； 當 ????x1 時， ( ) 0fx??? ? 由此可見， (1) 2f?? ? 是 ()fx?? 的最小值。 由于 ( ) 2 0fx?? ??，這樣 0?x 時， ()fx? 單調增加 又因為 (1) 0f? ? ，所以 10 ??x 時， ( ) 0fx? ? ； ????x1 時， ( ) 0fx? ? 。 再由 0)1( ?f ，可知 10 ??x 時， 0)( ?xf ； ????x1 時， 0)( ?xf ，這樣證明了 0?x 時， 0)( ?xf 。 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數學英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網盤 09 課程已經更新 47 證二：令 11ln)( ???? xxxxf （自己思考） 證三：令 )1(ln)1()( ???? xxxxf （自己思考） 例 2 設 0??ab ，求證： ab abab ??? )(2ln 證：令 )(),(2))(ln( ln)( axaxaxaxxf ?????? 則 1( ) ( ) ( l n l n ) 2f x x a x ax? ? ? ? ? ? ? ? 01 22 ???????? x axxx axf )( ax? 于是可知 ()fx? 在 ax? 時單調增加，又 ( ) 0fa? ? ， ∴ ax? 時 ( ) 0fx? ? ，這樣 )(xf 單調增加。因此， 0??ab 時 0)()( ?? afbf ，得證。 例 3 設 2ebae ??? ，證明 )(4lnln222 abeab ??? 證一：對函數 xxf 2ln)( ? 在 ],[ ba 上用拉格朗日中值定理 )(ln2lnln 22 abab ??? ? ? （ ba ??? ） 再來證明 ttt ln)( ?? 在 et? 時單調減少 ∵ )(0ln1)(39。2 ett tt ????? 從而 )()( 2e??? ? ，即222 2lnlneee ???? 故 )(4lnln222 abeab ??? 證二：設 xexxg22 4ln)( ??，則24ln2)(39。 exxxg ?? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數學英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網盤 09 課程已經更新 48 2ln12)(39。39。 x xxg ??? 當 ex? 時， ( ) 0gx?? ? ，故 ()gx? 單調減少 2 2244( ) ( ) 0g x g e ee??? ? ? ? 因此 2exe ?? 時，由 ( ) 0gx? ? 可知 )(xg 單調增加 題設 2ebae ??? ，于是 )()( agbg ? 故 aeabeb2222 4ln4ln ???，即 )(4lnln222 abeab ??? 二、有關函數的極值 例 設函數 )(xf 在 ),( ???? 內連續，其導函數的圖形如圖所示，則 )(xf 有 [ ] （ A）一個極小值點和兩 個 極大值點 （ B）兩個極小值點和一個極大值點 （ C）兩個極小值點和兩個極大值點 （ D）三個極小值點和一個極大值點 例 2 設 )(xf 的導數在 ax? 處連續，又 ()lim 1xafxxa?? ??? ，則 [ ] （ A） ax? 是 )(xf 的極小值點 （ B） ax? 是 )(xf 的極大值點 （ C） ))(,( afa 是曲線 )(xfy? 的拐點 （ D） ax? 不是極值點， ))(,( afa 也不是曲線 )(xfy? 的拐點 例 3 設 )(xfy? 有二階導數，滿足 2( ) 3 [ ( ) ] 1 xxf x x f x e ??? ?? ? ? 求證 ： 0( ) 0fx? ? 時， )( 0xf 為極小值 證：（ 1） 00?x 情形。 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數學英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網盤 09 課程已經更新 49 000000 00 , 1 01( ) 0 0 , 1 0xxxxeefx x ?????? ? ???? ?? ??? ? ??? 故 )( 0xf 為極小值 （ 2） 00?x 情形 這時方程條件用 0?x 代入不行，無法得出上面的公式 ∵ ()fx?? 存 在 ∴ ()fx? 連續，0 ( ) (0) 0xlin f x f? ???? 0 0 0( ) ( 0 ) ( ) ( )( 0 ) l im l im l im01x x xf x f f x f xf xx? ? ?? ? ? ????? ? ? ??（用洛必達法則） 20011l im { 3 [ ( ) ] } l imxxxxeefx?????? ? ? （再用洛必達法則） 011lim0 ?????xxe ∴ )0(f 是極小值 三、最大（小）值的應用題（略）