02高等數(shù)學(xué)講義汪誠義第二章(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 （ 1）在閉區(qū)間 [a ， b ]上皆連續(xù)； （ 2） 在開區(qū)間（ a ， b ）內(nèi)皆可導(dǎo)；且 ( ) 0gx? ? ，則存在 ),( ba?? 使得 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 35 ( ) ( ) ( ) ()( ) ( ) ( )f b f a f abg b g a g ? ???? ? ? ??? （注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形 xxg ?)( 時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理 ） 幾何意義：考慮曲線 的參數(shù)方程??? ??? ],[)( )( battfy tgx 點(diǎn) ))(),(( afagA ，點(diǎn) ))(),(( bfbgB 曲線在 上是連續(xù)曲線，除端點(diǎn)外是光滑曲線，那么在曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于割線 ____AB . 值得注意：在數(shù)學(xué)理論上，拉格朗日中值定理最重要，有時也稱為微分學(xué)基本定理。羅爾定理看作 拉 格朗日中值定理的預(yù)備定理，柯西中值 定理雖然更廣，但用得 不 太多。在考研數(shù)學(xué)命題中，用羅爾定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是較少。 四、泰勒定理（泰勒公式）（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二） 定理 1（ 帶 皮亞諾余項(xiàng)的 n 階泰勒公式） 設(shè) )(xf 在 0x 處有 n 階導(dǎo)數(shù)，則有公式 )()(! )()(!2 )()(!1 )()()( 00)(20039。39。0039。0 xRxxn xfxxxfxxxfxfxf nnn ????????? ? （ 0xx? ） 其中 00( ) [ ( ) ] ( )nnR x o x x x x? ? ? 稱為皮亞諾余項(xiàng)。 （ 0)( )(lim 00 ??? nnxx xx xR） 前面求極限方法中用泰勒公式就是這種情形，根據(jù)不同情形取適當(dāng)?shù)?n ，所以對常用的初等函數(shù)如 )1ln (,co s,s in, xxxe x ?和 ax)1( ? （ ? 為實(shí)常數(shù)）等的 n 階泰勒公式都要熟記。 定理 2 （ 帶 拉格朗日余項(xiàng)的 n 階泰勒公式） 設(shè) ()fx在包含 0x 的區(qū)間 (, )ab 內(nèi)有 1n? 階導(dǎo)數(shù)，在 [, ]ab 上有 n 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對],[ bax? ，有公式 )()(! )()(!2 )()(!1 )()()( 00)(20039。39。0039。0 xRxxn xfxxxfxxxfxfxf nnn ????????? ? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 36 其中 10)1( )()!1( )()( ?? ??? nnn xxnfxR ?，（ ? 在 0x 與 x 之間 ） 稱為拉格朗日余項(xiàng) 。 上面展開式稱為以 0x 為中心的 n 階泰勒公式。 00?x 時，也稱為麥克勞林公式 。 如果 0)(lim ??? xRnn，那么泰勒公式就轉(zhuǎn)化 為泰勒級數(shù)，這在后面無窮級數(shù)中再討論。 （乙）典型例題 一、用羅爾定理的有關(guān)方法 例 1 設(shè) )(xf 在 [0， 3]上連續(xù)，在（ 0， 3）內(nèi)可導(dǎo)，且 3)2()1()0( ??? fff ， 1)3( ?f . 試證 ： 必存在 )3,0(?? ，使 ( ) 0f ?? ? 證： ∵ )(xf 在 [0， 3]上連續(xù)， ∴ )(xf 在 [0， 2]上連續(xù)，且有最大值 M 和最小值 m .于是 Mfm ?? )0( ； Mfm ?? )1( ； Mfm ?? )2( ，故Mfffm ???? )]2()1()0([31 . 由連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點(diǎn) [0,2]c? 使得1)]2()1()0([31)( ???? fffcf ，因此 )3()( fcf ? ，且 )(xf 在 [c ， 3]上連續(xù)，（ c ， 3）內(nèi)可導(dǎo)，由羅 爾 定理得出 必存在 )3,0()3,( ?? c? 使得 ( ) 0f ?? ? 。 例 2 設(shè) )(xf 在 [0， 1]上連續(xù)，（ 0， 1）內(nèi)可導(dǎo)，且 ? ?132 )0()(3 fdxxf 求證 ： 存在 )1,0(?? 使 0)(39。 ??f 證：由積分中值定理可知，存在 2[ ,1]3c? ，使得 ? ??132 )321)(()( cfdxxf 得到 ? ?? 132 )0()(3)( fdxxfcf 對 )(xf 在 [0， c]上用羅爾定理，（三個條件都滿足） 故存在 )1,0(),0( ?? c? ，使 ( ) 0f ?? ? 例 3 設(shè) )(xf 在 [0,1]上連續(xù)， (0， 1)內(nèi)可導(dǎo)，對任意 1?k ，有 ? ?? k x dxxfxekf 10 1 )()1(，該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 37 求證存在 )1,0(?? 使 1( ) (1 ) ( )ff? ? ??? ?? 證：由積分中值定理可知存在 1[0, ]c k? 使得 )01)(()( 110 1 ?? ??? kcfcedxxfxe ck x 令 )()( 1 xfxexF x?? ，可知 )1()1( fF ? 這樣 1 110( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( )xckF f k x e f x d x c e f c F c??? ? ? ??，對 )(xF 在 ]1,[c 上用羅爾定理（三個條件都滿足）存在 )1,0()1,( ?? c? ， 使 ( ) 0F ?? ? 而 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )x x xF x e f x x e f x x e f x? ? ???? ? ? ∴ 1 1( ) [ ( ) (1 ) ( ) ] 0F e f f?? ? ? ?????? ? ? ? 又 01 ????e ，則 1( ) (1 ) ( )ff???? ?? 在例 3 的條件和結(jié)論中可以看出不可能 對 )(xf 用羅爾定理，否則結(jié)論只是 ( ) 0f ?? ? ，而且條件也不滿足。因此如何構(gòu)造一個函數(shù) )(xF ，它與 )(xf 有關(guān)，而且滿足區(qū)間上羅爾定理的三個條件，從 ( ) 0F ?? ? 就能得到結(jié)論成立 ，于是用羅爾定理的有關(guān)證明命題中，如何根據(jù)條件和結(jié)論構(gòu)造一個合適的 )(xF 是非常關(guān)鍵，下面的模型 Ⅰ ，就在這方面提供一些選擇。 模型 Ⅰ ：設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，（ ba, ） 內(nèi)可導(dǎo)， 0)()( ?? bfaf 則下 列各結(jié)論皆成立。 （ 1） 存在 ),(1 ba?? 使 11( ) ( ) 0f lf??? ??（ l 為實(shí)常數(shù)） （ 2）存在 ),(2 ba?? 使 12 2 2( ) ( ) 0kf k f? ? ??? ??（ k 為 非 零常數(shù)） （ 3）存在 ),(3 ba?? 使 3 3 3( ) ( ) ( ) 0f g f? ? ?? ??（ )(xg 為連續(xù)函數(shù)） 證：（ 1）令 )()( xfexF lx? ，在 ],[ ba 上用羅爾定理 ∵ ( ) ( ) ( )lx lxF x le f x e f x???? ∴ 存在 ),(1 ba?? 使 ? ? ? ? ? ? 0111 11 ????? ??? ?? fefleF ll 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 38 消去因子 1?le ，即證 . （ 2） 令 ( ) ( )kxF x e f x? ，在 ],[ ba 上用羅爾定理 1( ) ( ) ( )kkk x xF x kx e f x e f x????? 存在 ),(2 ba?? 使 2212 2 2 2( ) ( ) ( ) 0kkkF k e f e f??? ? ? ????? ? ? 消去因子 ke2? ，即證 。 （ 3） 令 )()( )( xfexF xG? ，其中 ( ) ( )G x g x? ? ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )G x G xF x g x e f x e f x???? 由 3( ) 0F ?? ? 清去因子 )(3?Ge ，即證 。 例 4 設(shè) )(xf 在 ]1,0[ 上連續(xù)，在（ 0， 1）內(nèi)可導(dǎo)， 0)1()0( ?? ff ， 1)21( ?f ，試證： （ 1） 存在 )1,21(?? ，使 ?? ?)(f 。 （ 2）對任意實(shí)數(shù) ? ，存在 ),0( ??? ，使得 ( ) [ ( ) ] 1ff? ? ? ?? ? ? ? 證明 ：（ 1 ）令 xxfx ??? )()( ， 顯然它在 [0, 1] 上 連 續(xù) ， 又021)21(,01)1( ??????? ，根據(jù)介值定理，存在 )1,21(?? 使 0)( ??? 即 ?? ?)(f （ 2） 令 ])([)()( xxfexexF xx ???? ?? ?? ，它在 ],0[ ? 上滿足羅爾定理的條件，故存在 ),0( ??? ，使 ( ) 0F ?? ? ，即 ? ?? ? ?? ? ? 01 ?????? ?????? ffe 從而 ( ) [ ( ) ] 1ff? ? ? ?? ? ? ? （注：在例 4（ 2）的證明中，相當(dāng)于模型 Ⅰ 中（ 1）的情形，其中 l 取為 ?? ， )(xf 取為xxfx ??? )()( ） 模型 Ⅱ ： 設(shè) )(xf ， )(xg 在 ],[ ba 上皆連續(xù)，（ ba, ）內(nèi)皆可導(dǎo)，且 0)( ?af ， 0)( ?bg ，則存在 ),( ba?? ，使 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 39 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f g f g? ? ? ????? 證： 令 )()()( xgxfxF ? ，則 0)()( ?? bFaF ，顯然 )(xF 在 [ ba, ]上滿足羅爾定理的條件，則存在 ),( ba?? ，使 ( ) 0F ?? ? ，即證 . 例 5 設(shè) )(xf 在 [0, 1]上連續(xù)，（ 0, 1）內(nèi)可導(dǎo)， 0)0( ?f ， k 為正整數(shù)。 求證： 存在 )1,0(?? 使得 ( ) ( ) ( )f kf f? ? ? ????? 證： 令 kxxg )1()( ?? ， 1,0 ?? ba ，則 0)0( ?f ， 0)1( ?g ，用模型 Ⅱ ，存在)1,0(?? 使得 1( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 0kkf k f? ? ? ??? ? ? ? ? 故 ( )( 1) ( ) 0f kf? ? ?? ? ? ? 則 ( ) ( ) ( )f kf f? ? ? ????? 例 6 設(shè) )(),( xgxf 在 ),(