高等數學考前要點復習-資料下載頁

【導讀】切內容都將從這二者開始。通常用大寫字母A、B、C??等來表示，組成集合的各個事物稱為該集合的元素。屬于M）；集合有時也簡稱為集。注1：若一集合只有有限個元素，就稱為有限集；否則稱為無限集。點；為我校的學生；須有此性質。為全體偶數集；，，，然數集，以后不特別說明的情況下考慮的集合均為數集。稱為左閉右開、左開右閉的區間，統稱為半開區間。為該鄰域的半徑，事實上，又有些量有變化，可取各種不同的數值，這種量稱為變量。力大小均為變量。等字母表示，常量a為一定。值，在數軸上可用定點表示，變量x代表該量可能取的任一值，在數軸上可用動點表示，若有不止一個y與之對應，就稱為多值函數。別聲明，只討論單值函數。，就稱)(xf在D上有上(

　　

【正文】 注 1：關于此極 限存在性的證明，書上有不同的方法，希望同學自己看！ 2：我們可證明： enx nnxx ???? ???? )11(lim)1(lim 1 ，具體在此不證明了，書上也有，由證明過程知： exx xxxx ???? ??????11 )1(lim)1(lim 。 3：指數函數 xey? 及自然對數 xy ln? 中的底就是這個常數 e 。 25 【例 1】 22222 ])211(l i m[])211[(l i m)21(l i m exxxxxxxxx ?????? ?????? 【例 2】 ezx zzxzxx ???? ???? )1(lim)1(lim110 【例 3】 eexxxxxxxxxxxx 11)11(lim])11(lim[)11(])11[(lim)11(lim 1111 ????????????? ?????????????? 【例 4】 eennnnn nxnxnx111)2111()2111(lim)12 21(lim)12 12(lim 212121 ?????????????? ????????? ? Cauchy 極限存在準則：數列 nx 收斂 ? 對 N??? ,0? ，當 NmNn ?? , 時，有 ??? mn xx 。 注 1：此定理證明較繁，在此不證了。 2：本定理理論性較強，但不實用，故只須了解就行了。 167。 8 無窮小的比較 在167。 6 中我們討論了無窮小的和、差、積的情況，對于其商會出現不同的情況，例如：?????????????? ???nmnmnmbabaxxbxa mnxmnx0limlim00000000 （ 00,ba 為常數， nm, 為自然數） 可見對于 nm, 取不同數時， nxa0 與 mxb0 趨于 0 的速度不一樣，為此有必要對無窮小進行比較或分類： 定義：設 ? 與 ? 為 x 在同一變化過程中的兩個無窮小， (i) 若 0lim ??? ，就說 ? 是比 ? 高階的無窮小，記為 )(?? o? ； (ii) 若 ????lim ，就說 ? 是比 ? 低階的無窮小； (iii) 若 0lim ??C?? ，就說 ? 是比 ? 同階的無窮小； 26 (iv) 若 1lim ??? ，就說 ? 與 ? 是等價無窮小，記為 ??~ 。 【例 1】 當 0?x 時， 2x 是 x 的高階無窮小，即 )(2 xox ? ；反之 x 是 2x 的低階無窮小；2x 與 xcos1? 是同階無窮小； x 與 xsin 是等價無窮小，即 xx sin~ 。 注 1：高階無窮小不具有等價代換性，即： )(),( 22 xoxxox ?? ，但 )()( xoo ? ，因為)(?o 不是一個量，而是高階無窮小的記號； 2：顯然 (iv)是 (iii)的特殊情況； 3：等價無窮小具有傳遞性：即 ?????? ~~,~ ?； 4：未必任意兩個無窮小量都可進行比較，例如：當 0?x 時， xx 1sin 與 2x 既非同階，又無高低階可比較，因為201sinlim x xxx? 不存在； 5：對于無窮大量也可作類似的比較、分類； 6：用等價無窮小可以簡化極限的運算，事實上，有： 定理：若 ???? ??, 均為 x 的同一變化過程中的無窮小，且 ???? ?? ~,~ ， 及 ?????lim ，那么 ???? ???? limlim 。 【例 2】 求 xxx 20 sincos1lim ??。 解：因為當 0?x 時， xx~sin 所以 21c o s1lims inc o s1lim2020 ???? ?? x xx x xx。 【例 3】 求 xx xx 22arcsinlim 20 ?? 解：因為當 0?x 時， xx 2~2arcsin ， 所以 原式 12222lim22lim020 ?????? ?? xxx x xx。 7：在目前，常用當 0?x 時，等價無窮小有： 221~c o s1,~a r c t a n,~a r c s i n,~t a n,~s i n xxxxxxxxxx ?； 8：用等價無窮小代換適用于乘、除，對于加、減須謹慎！ 167。 函數的連續性與間斷點 一、 函數的連續性 連續性是函數的重要性態之一，在實際問題中普遍存在連續性問題，從圖形上看， 27 函數的圖象連綿不斷。在數學上，我們有： 定義 1：設 )( xfy ? 在 0x 的某鄰域內有定義，若 )()(lim00 xfxfxx ??，就稱函數 )(xfy? 在 0x 點處連續。 注 1： )(xf 在 0x 點連續，不僅要求 )(xf 在 0x 點有意義， )(lim0 xfxx?存在，而且要)()(lim 00 xfxfxx ?? ，即極限值等于函數值。 2 ：若 )()0()(lim00 xfxfxfxx ??????， 就 稱 )(xf 在 0x 點 左 連 續 。 若)()0()(lim 00 xfxfxfxx ????? ，就稱 )(xf 在 0x 點右連續。 3：如果 )(xf 在區間 I 上的每一點處都連續 ，就稱 )(xf 在 I 上連續；并稱 )(xf 為 I 上的連續函數；若 I 包含端點，那么 )(xf 在左端點連續是指右連續，在右端點連續是指左連續。 定義 1ˊ ：設 )(xfy? 在 0x 的某鄰域內有定義，若對 0,0 ???? ?? ，當 ??? 0xx 時，有??? )()( 0xfxf ，就稱 )(xf 在 0x 點連續。 下面再給出連續性定義的另一種形式： 先介紹增量：變量 u 由初值 1u 變到終值 2u ，終值 2u 與初值 1u 的差 12 uu? 稱為 u 的增量，記為 u? ，即 12 uuu ??? ； u? 可正、可負、也可為零，這些取決于 1u 與 2u 的大小。 我們稱 0xx? 為自 變量 x 在 0x 點的增量，記為 x? ，即 0xxx ??? 或 xxx ??? 0 ；00 ???? xxx 相應函數值差， )()( 0xfxf ? 稱為函數 )(xf 在 0x 點的增量，記為 y? ，即 00 )()( yyxfxfy ????? ，即 yxfxf ??? )()( 0 或 yyy ??? 0 ， 00)()()()( 000 ????????? yxfxxfxfxf 。 定義 1″：設 )(xfy? 在 0x 的某鄰域內有定義，若當 0??x 時，有 0??y ，即 0lim0 ???? yx，或 0)]()([lim000 ?????? xfxxfx，就稱 )(xf 在 0x 點連續。 定理： )(xf 在 0x 點連續 )(xf? 在 0x 點既左連續，又右連續。 【例 1】 多項式函數在 ),( ???? 上是連續的；所以 )()(lim00 xfxfxx ??，有理函數在分母不 28 等于零的點 處是連續的，即在定義域內是連續的。 以上由167。 【例 2】的推論 推論 2即得。 【例 2】不難證明 xyxy c os,sin ?? 在 ),( ???? 上是連續的。 【例 3】證明 xxf ?)( 在 0?x 點連續。 證明： 0limlim,0)(limlim000000 ????? ???????? xxxx xxxx，又 0)0( ?f ，所以由定理 ? xxf ?)( 在0?x 點連續； 或由前167。 習題 5知 )0(0lim0 fxx ???，所以 ? xxf ?)( 在 0?x 點連續。 【例 4】討論函數??? ?? ??? 02 02 xx xxy 在 0? 的連續性。 解： 220)2(limlim,220)2(limlim00000000 ??????????? ???????? xyxy xxxx ，因為 22?? ，所以該函數在 0?x 點不連續，又因為 2)0( ?f ，所以為右連續函數。 二、 間斷點 簡單地說，若 )(xf 在 0x 點不連續，就稱 0x 為 )(xf 的間斷點，或不連續點，為方便起見，在此要求 0x 的任一 鄰域均含有 )(xf 的定義域中非 0x 的點。間斷點有下列三種情況： （ 1） )(xf 在 0xx? 沒有定義； （ 2） )(lim0 xfxx?不存在； （ 3）雖然 )(lim0 xfxx?不存在，也雖然在 0x 點有定義，但 )()(lim00 xfxfx ??。 n 種常見的間斷點類型： 【例 5】設21)( xxf ?，當 ??? )(,0 xfx ，即極限不存在，所以 0?x 為 )(xf 的間斷點。因為 ??? 20 1limxx，所以 0?x 為無窮間斷點。 【例 6】 xy 1sin? 在 0?x 點無定義 ，且當 0?x 時，函數值在 1? 與 1? 之間無限次地振蕩，而不超于某一定數，見書上圖，這種間斷點稱為振蕩間斷點。 1.??? ??? Qx Qxxf 10)( x? 均為振蕩間斷點。 ????????或無理數1,001)(x qpxqxf Qx? 不連續， Qx? 連續。 29 【例 7】 xxy sin? 在 0?x 點無定義，所以 0?x 為其間斷點，又 1sinlim0 ?? xxx，所以若補充定義 1)0( ?f ，那么函數在 0?x 點就連續了。故這種間斷點稱為可去間斷點。 【例 8】 [例 4]的函數在 0?x 點不連續，但左、右極限均存在，且有不等于 )0(f 的，這種間斷點稱為跳躍間斷點。例如 xy sgn? 在 0?x 處即為跳躍間斷點。 歸納： (1) ??? )(lim0 xfxx， 0x 為無窮間斷點； (2) )(lim0 xfxx?震蕩不存在， 0x 為震蕩間斷點； (3) )()(lim00 xfAxfxx ???， 0x 為可去間斷點； (4) )(lim)(lim00 00 xfxf xxxx ???? ?， 0x 為跳躍間斷點。 如果 )(xf 在間斷點 0x 處的左右極限都存在，就稱 0x 為 )(xf 的第一類間斷點，顯然它包含 (3)、 (4)兩種情況；否則就稱為第二類間斷點。 167。 10 連續函數的運算與初等函數的連續性 一、 續函數的運算 定理 1(連續函數的四則運算法則 )：若 )(),( xgxf 均在 0x 連續，則 )()(),()( xgxfxgxf ?? 及)()(xgxf（要求 0)( 0 ?xg ）都在 0x 連續。 定理 2（反函數的連續性）：如果 )(xfy? 在區間 xI 上單值，單增（減），且連續，那么其反函數 )(yx ?? 也在對應的區間 }),({ xy IxxfyyI ??? 上單值，單增（減），且連續。 注 1： )(xy ?? 亦為 )(xfy? 的反函數，如上知： )(xy ?? 在 yI 上有上述性質。 定理 3：設 )(xu ?? 當 0xx? 時的極限存在且等于 a ，即 axxx ?? )(lim0?，又設 )(ufy? 在au? 處連續，那么，當 0xx? 時，復合函數 ))(( xfy ?? 的極限存在，且等于 )(af ， 30 即 )())((lim0 afxfxx ?? ?。 注 2：可類似討論 ??x 時的情形。 定理 4：設函數 )(xu ?? 在點 0xx? 連續，且 00)( ux ?? ，函數 )(ufy? 在 0u 點連續，那么，復合函數 ))(( xfy ?? 在點 0xx? 處連續。 注 3：定理 4 說明 lim 與 f 的次序可交換。 注 4：在定理 3中代入 )( 00 xua ??? ，即得定理 4。 【例 1】 由于 mxy? （ m 為正整數）在 ),0[ ?? 上嚴格單調且連續，由定理 2，其反函數 mxy 1? 在 ),0[ ?? 上也嚴格單調且連續，進而：對于有理冪函數 ?xy? （ qpppq ,0, ???為正整數）在定義上是連續的。 【例 2】求xxx sin2lim0 ?? 解：因為 1sinlim0 ?? xxx，及 u?2 在 1?u 點連續，故由定理 3，原式 112s inlim2 0 ????? ? x xx 。 二、 初等函數的連續性 我們已知道 xyxy c os,si