積分方法與定積分的應用-資料下載頁

【導讀】我們先複習有關不定積分的。不定積分又稱為反微分,其。定義1:若函數F在區間I的一次微分。F+C來表示,其中C為任意實數。則稱為積分函數。例3:求的不定積分。一個底為，高為b的矩形，其面積我們。定義為，但對於一個不規則的圖形，首先考慮直線下由到。所涵蓋的面積，其中。將上圖到的線段等分，則ax?意即對於，滿足??

　　

【正文】 S875,123000)125(3)125(4)125( 3/5 ????S62 例 32: Universal Instruments 公司行銷部門的研究報告指出 ,若其所生產的新型家用電腦 Galaxy 上市後 ,其每月的電腦銷售額會以 的速率成長。求此新型家用電腦 Galaxy 上市 t月後的總銷售量 ,又此新型家用電腦 Galaxy 上市 1年後的總銷售量為何 ? 解 : 令 N(t)表示新型家用電腦 Galaxy 上市 t月後的總銷售量 ,則 所以 t 0 . 0 51 5 0 0 e2 0 0 0 )600( ?? t 0 . 0 5 t1500e2020( t ) ??N )600( ?? t63 dttN t )1 50 02 00 0()( ?? ??? ? ??? dtedt Cet t ???? ? 115002020Cet t ??? ? ,302 0 0 0由於 0=N(0)=30,000+C,故得 C=?30,000,意即 家用電腦 Galaxy 上市 1年後的總銷售量為 部電腦 )1(000,302 0 0 0)( ??? ? tettN4 6 4,10)1(0 0 0,30)12(2 0 0 0)12( )12( ???? ?eN64 例 34: Staedtler Office Equipment 的管理階層決定其每天所生產的電動削鉛筆機的邊際成本函數為 其中 的單位為 (美金 /電動削鉛筆機 ),而 x代表所生產的電動削鉛筆機數量。已知固定成本為 $100,求每天 (a)製造前 500個電動削鉛筆機的總成本 (b)製造第 201個至第 400個電動削鉛筆機的總成本。 0 0 0 0 )( 2 ???? xxxC)( xC?65 解 : (a)總成本 C(x)為 的反微分。利用微積分基本定理 ,可得 故每天製造前 500個電動削鉛筆機的總成本為 C(500)=1500+C(0)=1500+100=1600美金。 )( xC?? ???50 00)()0()500( dxxCCC? ???50002 )( dxxx1 5 0 0|) 0 0 0 0 ( 500023 ???? xxx66 (b)每天製造第 201個至第 400個電動削鉛筆機的總成本為 =525 美金 ? ??? 400201 )()201()400( dxxCCC? ???4002012 )( dxxx40020203 |) 0 0 0 0 ( xxx ???67 例 35: 為 Elektra Electronics 公司所做的效率報告顯示 , 從早上八點算起 t小時後 ,平均每個工人組裝 Space Commander walkietalkie 的速率為 從早上開始工作 1小時內 ,平均每個工人可組裝多少個 Space Commander walkietalkie? 15123)( 2 ???? tttf )40( ?? t解 : 令 N(t)代表 ,從早上開始工作 t小時內 ,平均每個工人可組裝 Space Commander walkietalkie 的數量 ,則 15123)()( 2 ?????? tttftN )40( ?? t68 所以從早上開始工作 1小時內 ,平均每個工人可 組裝 Space Commander walkietalkie 的數量 為 ? ???10)()0()1( dttNNN1023 |156 ttt ????? ????102 )15123( dttt=20個 69 例 36: 某城市消耗電力的速率以指數的方式成長 ,其中指數值 k=。若目前消耗電力的速率為每年 40百萬千瓦 小時 (kWh),則未來三年應生產多少電力才能滿足最低需求 ? 解 : 令 R(t)代表 ,從現在算起 t年的電力消耗速率 ,則 其中 R(t)的單位為每年百萬 kWh。 tetR )( ?70 再令 C(t)代表 ,從現在算起 t年內的總消耗電力 ,則 因此未來三年應生產 = 百萬 kWh的電力才能滿足最低需求。 )()( tRtC ???? ??303040)( dtedttC t 40 |te?)1(1 0 0 0 ?? e71 例 37: 某油井從開始生產原油後 ,估計 t年後的生產速率為每年 千桶 ,求 t年後所生產的原油總量。 解 : 令 T(t)代表此油井 t年後所生產的原油總量 (以千桶為單位 ),則 利用部分積分法 ,令 則 。 ttetR 0 0)( ??)()( tRtT ??tetgttf )(,)( ????tetgtf )(,1)( ?????72 ? ?? dttetT )(? ?? dtte 00]10)10([10 0 ? ?? ??? dteet tt? ?? ??? dtete tt 1 0 001 0 00Cete tt ????? ?? )10(1 0 0 01 0 0 0 Ctte t ???? ? )10(1000 由於 0=T(0)=?10000+C,所以 C=10000。此油井 t年後所生產的原油總量為 千桶。 1 0 0 0 0)10(1 0 0 0 ??? ? tte t73 例 38: 某超級市場的市場調查部門決定每週販賣 x條某種牙膏的邊際價格為 若每支牙膏的價格為 $ ,每週的需求量為 50支 ,請問每週的的價格 需求曲線為何 ? 又當每支牙膏的價格為 $量為多少 ? xexp 1 )( ????解 : dxexp x? ??? )(Cdxe x ??? ? ? Ce x ?? ? 74 Cep ??? ?? )50(故可推演得 C= 每週的的價格 需求曲線為 )( ?? ? xexp)( ??? ? xexp120100??????????xeexx當價格為 $ 120支 75 例 39: 某公司每月製造 x個電視機 ,其 邊際純利(Marginal Profit)為 此公司目前每月製造 1,500臺電視機 ,若將產量增加到每月 1,600臺 ,則每月的純利會增加多少 (單位 : 美金 $)? 0 . 1165( x ) xP ?? )4 0 0 00( ?? x解 : dxxPP ? ???16001500)()1500()1600(1 0 0 00 0 0,1 3 50 0 0,1 3 6) 6 5( |1 6 0 01 5 0 02????? xx若此公司將電視機產量由每月 1,500臺 增加到 1,600臺 ,其每月純利增加 $1000。 76 例 40: 某娛樂公司記錄其所安裝的電玩遊戲。C(t)和 R(t)分別為某電玩遊戲 t年後的總成本和總營業額 ,若 單位為 $1000。 且定滿足 的 t稱為此電玩遊戲的生命週期。 (a) 求此電玩遊戲最近的生命週期。 (b) 求此電玩遊戲在最近的生命週期內的總毛利。 2)( ?? tC tetR )( ???)()( tRtC ???77 解 : (a) 392ln29)(2)(??????????tetRtCt此電玩遊戲最近的生命週期大約為 3 年。 ? ?????30)]()([)0()3( dttCtRPP(b) |30 29)29( tedte tt ????????)018()618(???????????ee此電玩遊戲在最近的生命週期內的總毛利大約 為 $7984。