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圓錐曲線有關弦的問題-資料下載頁

2025-08-23 11:55本頁面

【導讀】的一條弦，直線l稱為圓錐曲線C的一條割線。以拋物線焦點弦為直徑的圓與拋物線準線相切；過拋物線焦點弦兩端切線的交點與拋物線焦點的連線和焦點弦互相垂直。橢圓與雙曲線的焦點弦也有一些性質，請同學們自己歸納總結。例1、已知拋物線)0(22??ppxy的焦點為F，AB為焦點弦，A，B兩點到。拋物線準線的射影分別為A`，B`，求證：FBFA``?xyx例2、過橢圓的左焦點作一橢圓的焦點弦AB，求直線。比較繁雜.這里運用平面幾何知識,選擇垂直條件,簡化了計算.所以三角形AA`M和三角形AMF全等。于M、N兩點，問取何值時，|MN|等于橢圓短軸的長。

　　

【正文】 yyyy22222121 yyxxx ????3||),(),( 2211 ?AByxByxA2122122 )()(3 yyxx ????]11)()[(41 221221 ?????? yyyy導評：此題是 1991年高考（文科）數學試題。常規解法是用韋達定理結合垂直，兩點間距離等關系進行比較繁瑣的運算求出含有長、短半軸長為未知數的方程組 ,而這里利用圓的方程和性質直接得出方程組 . xy ?2例如圖，定長為 3的線段 AB的兩端點在拋物線上移動，線段 AB中點為 M，求點 M到 y軸的最短距離，并求此時 M點的坐標。 x y o M B A F 解法一：設線段 AB中點 M(x,y)到 y軸距離為 }1]1)[()(2{41 2221 ????? yyyy)3(31)()( 221221 ????? yyyy且當 .450 ?xx取最小值,)1(,23 21212121 xxyyyyyy 可解得又由可解得由??????????45可取得最小值x?)22,45()22,45( ?? 或點坐標為M|,||||,||| BFBDAFAC ???|)||(|21|| ACBDME ??? x y o M B A C E D N F 454123 ???4522)(22222 ????????? BABABABAMyyyyyyxxx|| MNxM ?23||21 ?? AB|)||(|21 BFAF ??45)132(41 ????x由（ 2）， 222 210 ???? yyy相應 M點縱坐標 xy ?2 ,41??x)0,41(F解法二、拋物線的焦點為，準線方程為設 A、 B、 M到準線的射影為 C、 E、 D。設線段 ME交 y軸于 N，則 |||| ENME ??當且僅當 AB過焦點 F時， |MN|最小，因而 x最小值可達到。 ,412 ???? pyy BA而2)(, 2 ?? BA yy得代入上式222 ????? BAMyyyx y o M B A C E D N F )22,45()22,45( ?? 或點坐標為M導評：此題是 1987年高考（理科）數學試題。解法一利用平均值定理，不易想到且計算量較大；解法二利用拋物線定義，計算量比較小，值得推廣。

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