遼寧石油化工大學概率論與數理統計教案第四章隨機變量的數字特征-資料下載頁

【導讀】差；了解協方差、相關系數、矩的概念、性質及計算方法。二項分布、泊松分布、正態分布和指數分布的數學期望和方差。——全面描述隨機變量X取值的統計規律。但是，在實際問題中。的某些數字特征就夠了。評價糧食產量，只關注平均產量；研究水稻品種優劣，只關注每株平均粒數；評價射擊水平，只關注平均命中環數、偏離程度。使學生理解掌握隨機變量函數的數學期望的計算及數學期望的性質。20210210kkNakNaaa，因為當N充分大時,頻率kp概率穩定值????完全由隨機變量X的概率分布確定,而與試驗無關，它反映了平均數的大小。數學期望簡稱期望，又稱為均值。甲工人生產出廢品的均值較小，甲的技術好。，若將這5個電子裝置串聯連接組成整機，求整機壽命。，并聯，整機壽命。所以若旅客8:20到站，則他候車時間的數學期望為(分)。

　　

【正文】 的大小表征著 X 與 Y 的線性相關程度。當 XY? 較大時，則 X 與 Y 的線性相關程度較好；當 XY? 較小時，則 X 與 Y 的線性相關程度較差。 當 0XY? ? 時，稱 X 與 Y 不相關。 當 X 與 Y 相互獨立時， X 與 Y 不相關。反之，若 X 與 Y 不相關， X 與 Y 卻不一定相互獨立 ,該性質說明，獨立性是比不相關更為嚴格的條件。獨立性反映 ? 與 ? 之間不存在任何關系，而不相關只是就線性關系而言的，即使 X與 Y不相關，它們之間也還是可能存在函數關系的。相關系數只是 X與 Y間線性相關程度的一種量度。 關于不相關有如下 定理 ：對于 X,Y，下列等價： ① E(XY)=E(X)E(Y) ② D(X+Y)=D(X)+D(Y) ③ cov(X,Y)=0 ④ X,Y 不相關，即 ? =0 例 1 設（ X， Y）的分布律為 Y X 2 1 1 2 P{Y=i} 1 4 0 1/4 1/4 0 1/4 0 0 1/4 1/2 1/2 P{X=i} 1/4 1/4 1/4 1/4 1 易知， E（ X） =0， E（ Y） =5/2， E（ XY） =0，于是 xy? =0， X， Y 不相關。這表示 X， Y不存在線性關系。但， P{X=2， Y=1}=0≠ P {X=2}P{ Y=1}，知 X， Y不是相互獨立的。事實上， X 和 Y 具有關系： Y=X2， Y的值完全可由 X 的值所確定。 遼寧石油化工大學 概率論與數理統計教案 例 2 設連續型隨機變量 ,XY（ ） 的概率密度為 21 2 0 1()0y y xf x y ? ? ? ?? ??， 其 它，求 XY? 。 解 230 12 4 0 1( ) ( , )0xxy dy x xf x f x y dy????? ? ? ???? ?????其 它 1 30 4( ) 4 5E x x x dx? ? ?? 1 2212 12 ( 1 ) 0 1( ) ( , ) 0yy y dx y y yf y f x y dx???? ? ? ? ? ???? ?????其 它 1 20 3( ) 1 2 (1 ) 5E y y y yd y? ? ?? 11250 0 0 1( ) 1 2 3 2xE x y d x x y y d y x d x? ? ? ?? ? ? 4 3 1( ) ( ) ( ) ( 5 5 5 0C o v X Y E X Y E X E Y? ? ? ? ?1） = 2 又 12 2 30 2( ) 4 3E x x x dx? ? ?? 所以 2 2 22 4 2( ) ( ) ( ) ( )3 5 7 5D x E x E x? ? ? ? ? 112 2 2 4 500 2( ) 1 2 ( 1 ) 1 2 ( ) 5E y y y y d y y y d y? ? ? ? ??? 2 2 22 3 1( ) ( ) ( ) ( )5 5 2 5D y E y E y? ? ? ? ? 1( ) 6504( ) ( ) 2 175 25XYCo v X YD X D Y? ? ? ? 課堂練習 P141 2 26 課后作業 P141 2 29 167。 4 矩、協方差矩陣 教學目的： 使學生理解矩、協方差矩陣的定義及 n維正態變量的性質。 教學重點、難點 ：矩、協方差矩陣的定義及 n維正態變量的性 質。 教學過程： （一） 矩 遼寧石油化工大學 概率論與數理統計教案 設 X,Y 是隨機變量 （ 1）若 E(Xk), k=1,2?，存在，則稱它為 X 的 k 階原點矩 ，簡稱 k 階矩 。 （ 2）若 E{[XE(X)]k}, k=2,3?，存在，則稱它為 X的 k 階中心矩 。 （ 3）若 E(XkYl), k,l=1,2?，存在，則稱它為 X 和 Y 的 k+l 階混合矩 。 （ 4）若 E{[XE(X)]k[YE(Y)]l}, k,l=1,2?，存在，則稱它為 X和 Y的 k+l 階混合中心矩 。 X 的一階原點矩即為數學期望，二階中心矩即為方 差； XY和 的二階混合中心矩即為協方差。 n 維隨機變量的協方差矩陣 (covariance matrix) （ 1）二維隨機變量（ X1,X2）有四個二階中心矩（設它們都存在），分別記為 11c =E{[X1E(X1)]2}, 12c =E{[X1E(X1)] [X2E(X2)]} 21c = E{[X2E(X2)] [X1E(X1)] }, 22c =E{[X2E(X2)]2}. 則稱矩陣 C= ???????? 2221 1211 cccc 為（ X1,X2） 的協方差矩陣。 （ 2）設 n維隨機變量（ X1,X2,? ,Xn）的二階混合中心矩 : ijc =Cov(Xi,Xj)=E{[XiE(Xi)][YjE(Yj)]}, i,j=1,2,? ,n 都存在 , 則稱矩陣 C=??????????????nnnnnnccccccccc??????212222111211為（ X1,X2,? ,Xn） 的協方差矩陣。 顯然 C 是一個對稱矩陣。 (二 ) n 維正態隨機變量的概率密度 （ 1） 二維正態隨機變量（ X1,X2）的概率密度 ? ? ? ? ?????????? ?????? ?????????? 2222212121212221))((2)1(2 1e x p121),( ? ??? ???? ??????yyxxyxf 因為 ? ? ? ? ? ? 22222121122111 , ????? ??????? YDcYXC o vccXDc 遼寧石油化工大學 概率論與數理統計教案 所以（ X， Y）的協方差矩陣 C= ???????? 2221 1211 cccc = ????????2221 2121???? ???? 記 X= ????????YX, ????????? 21??? 則 (X， Y)的概率密度可寫成 ? ? ? ? ? ? ? ??????? ????? ? ??? XCXCyxf 121e xp2 1, 2122 (2)n 維正態隨機變量（ X1,X2,? ,Xn）的概率密度 記 X=??????????????nxxx?21, ??????????????n????21, n 維正態隨機變量（ X1,X2,? ,Xn）的概率密度定義為 : ? ? ? ? ? ? ? ??????? ????? ? ??? XCXCxxxf nn 121 21e xp2 1, 212? 其中 C是 X1,X2,? ,Xn）的協方差矩陣 。 (三 ) n 維正態隨機變量的性質 （ 1） n 維正態變量（ X1,X2,? ,Xn）的每一個分量 Xi, i=1,2,? ,n 都是正態分量；反之，若 X1,X2,? ,Xn都是正態分量，且相互獨立，則（ X1,X2,? ,Xn）是 n 維正態變量。 （ 2） n 維隨機變量（ X1,X2,? ,Xn）服從正態分布的充要條件是 X1,X2,? ,Xn 的任意的線性組合 k1X1+ k2X2 +? +knXn服從一維正態分布（其中 k1,k2,? ,kn不全為零）。 （ 3） 若（ X1,X2,? ,Xn）服從 n維正態 分布，設 Y1, Y2,? ,Yk是 Xj(j=1,2,? ,n)的線性函數，則（ Y1, Y2,? ,Yk）也服從多維正態分布 . （ 4） 設（ X1,X2,? ,Xn）服從 n 維正態分布，則“相互獨立與“ X1,X2,? ,Xn 兩兩不相關”是等價的。 課堂練習 : P141 3 33 課 后作 業 ： P141 32 遼寧石油化工大學 概率論與數理統計教案