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排列與逆序,行列式的定義-資料下載頁

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【正文】（主對角線上側(cè)元素都為 0） nnaaa ?2211?nnnnaaaaaaD???????21222111000?2021/6/14 線性代數(shù)教學(xué)課件 23 (3) nnaaaD?2211?nnaaa ?2211? （顯然） (4) 11,21nnnaaaD???11,212)1()1(nnnnn aaa ?????2021/6/14 線性代數(shù)教學(xué)課件 24 定理 3 nn jijiji aaa ?2211 在行列式中的符號等于 )()( 2121)1( nn jjjiii ?? ?? ??證明：由行列式定義可知，確定項 )1(2211 nn jijiji aaa ?的符號，需要把各元素的次序進行調(diào)動，使其行標成自然排列。為此，我們先來研究若交換項（ 1）中某兩個元素的位置時，其行標和列標排列的奇偶性如何變化。對換任意兩元素，相當于項（ 1）的元素行標排列及列標排列同時經(jīng)過一次對換。 2021/6/14 線性代數(shù)教學(xué)課件 25 設(shè)對換前行標排列的逆序數(shù)為 s，列標排列的逆序數(shù)為 t。設(shè)經(jīng)過一次對換后行標排列的逆序數(shù)為 s?列標排列的逆序數(shù)為 t?由定理，對換改變排列的奇偶性所以， ss ?? 是奇數(shù) tt ?? 也是奇數(shù) 所以 )()( ttss ????? 是偶數(shù)，即 )()( tsts ????? 是偶數(shù)，所以 ts ??? 與 ts? 同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)。即，交換項（ 1）中任意兩個元素的位置后，其行標和列標所構(gòu)成的排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變。 2021/6/14 線性代數(shù)教學(xué)課件 26 另一方面，經(jīng)過若干次對換項（ 1）中元素的次序，總可以把項（ 1）變?yōu)? ,21 21 nnkkk aaa ?所以 tsts ???? ??? )1()1()()12( 21)1( nkkkn ?? ?? ???)( 21)1( nkkk ????得證。 2021/6/14 線性代數(shù)教學(xué)課件 27 由此，得行列式的等價定義 nnnnnnaaaaaaaaa???????212222111211? ??nnnjjjnjjjjjj aaa?? ?21212121)()1( ?? ???nnnnnniiijjjjijijijjjiii aaa???? ?212122112121 )()()1( ??? ??nnniiiniiiiii aaa?? ?21212121)()1( ?2021/6/14 線性代數(shù)教學(xué)課件 28 作業(yè) 習(xí)題一： 1； 4（ 1）（ 2）（ 4）； 7（ 1）

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