數值分析計算方法課程介紹ok-資料下載頁

　　

【正文】 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1433 通過實驗發現，隨著 h減小，通過（ 1）計算的導數近似值與真值的誤差是 先減小后增大 ，這種現象是什么原因造成的呢？ 其原因就在于計算機是有限精度的，隨著 h的減小，舍入誤差逐漸被放大，并且最終成為引起誤差的主導因素！（ 要求上機體會舍入誤差的影響 ） 要學好數值分析課程一定要真正理解舍入誤差，特別是舍入誤差在算法中的 傳播 和對最終結果的影響！ 同理可以討論近似方法（ 2）的截斷誤差，以及隨著 h的減小，其誤差的變化情況！ 返回 那么是不是 h越小，計算誤差就越小呢？ Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1434 167。 數值計算中需要注意的問題 1 浮點數的加法 112.。 std d d d ?? ? ? 212.stc c c c ?? ? ?設 兩個浮點數相加： 首先比較它們的階碼，若階碼相同則尾數相加，相加后若尾數大于 1則階碼進位；若階碼不等，則以相對大的階碼為標準，將階碼小的浮點數進行移位，直到階碼一致，再按階碼相同時的規則進行相加！ 例 1 假設計算機只能存放三位十進制數字，設 在該計算機上進行如下運算 , 321 ??? xxx（ 1）計算 與十個 之和，即 ，采用以下兩種計算方法 1x 3x 331 xxx ??? ? Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1435 1） ， ，則 即為所求， 10 xa ? )10,1(31 ???? ? ixaa ii 10a計算得 （錯） ?a 2） （正確） )(331 ?????? xxx ?（ 2） （錯） 3231 ????? xxx（ 3） （錯） ???? xx （正確） 221212221 ))(( ???????? xxxxxx Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1436 例 2 計算 127x 只需要做 12次乘法 643216842127 xxxxxxxx ???????2 數值計算的一些基本原則 （ 1）由于計算機字長的限制 ① 防止小數加到大數上； ② 防止除數過小； ③ 防止相近的數相減 (會損失有效數字 )； （ 2）由于計算機的計算原理 ④ 要盡量減少乘除法的運算次數 返回 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1437 167。 算法的穩定性 首先來看一個例子，考慮積分序列： 1 10, 1 , 2 ,nxnE x e d x n????（ 1） 顯然 ，且計算可得 ，對 進行分部積分得 0nE ? 1 1E e? 2n ?1 110 1 , 2 , 3 ,nxnnE x e d x n E n??? ? ? ??并且 11 1001 0 , ( )1n x nnE x e d x x d x nn?? ? ? ? ? ????為了估計積分序列 ，我們構造如下方法： ? ?nE（ 2） （ 3） Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1438 方法 1(直接應用（ 2） ) 111 , 1 , 2 , 3 ,nnE E n E ne ?? ? ? ?方法 2（考慮到結果（ 3）） 110 , , , 1 , , 2nNnEE E n N Nn??? ? ? ?考慮舍入誤差，方法 1不可取！！ 若在計算過程中 誤差被無限制放大 ，則稱該算法 不穩定 ， 否則稱之為穩定算法。 返回 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1439 167。 病態問題 例子 其中 a分別取 ， 算得結果分別為 可見系數的微小變化，引起了結果比較大的改變！ 我們稱該問題是 病態問題 ！ 121210x a xa x x???????求解方程組 125 0 . 2 5,4 9 . 7 5xx??? ???125 5 . 8 15 5 . 3 0xx??? ???一般的，我們稱對誤差敏感的問題為 病態問題 ， 否則稱為 良態 的！ 返回 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1440