高考專題復習第5單元不等式數學理科新課標-資料下載頁

　　

【正文】 31講 │ 規律總結 2 ．給定平面區域求解一些非線性目標的最值或范圍時，要根據解析幾何知識確定求解目標的幾何意義，結合解析幾何知識解決問題，適當變換求解目標可以使其幾何意義更加明確、或者轉化為函數問題解決． 第 31講 │ 規律總結 3 ．線性規劃問題是在約束條件是線性的、目標函數也是線性的情況下的一類最優問題，在約束條件是線性的情況下，線性目標函數只有在可行域的頂點或者邊界上取得最值，在解答選擇題或者填空題時可以根據可行域的頂點直接進行檢驗． 4 ．含有實際背景的線性規劃問題其關鍵是找到制約求解目標的兩個變量，用這兩個變量建立可行域和目標函數，在解題時要注意題目中的各種相互制約關系，列出全面的制約條件和正確的目標函數． 第 32講 │ 基本不等式 ab ≤ a ＋ b2 第 32講 基本不等式 ab ≤a ＋ b2 知識梳理 第 32講 │ 知識梳理 1 ．公式 a2＋ b2≥2 ab 中 a 、 b 的條件是 ____ ____ ，當且僅當 ________ 時等號成立．公式a ＋ b2≥ ab 中， a ， b 的條件是_ ___ _____ ，當且僅當 ________ 時等號成立． 2 ．若 a ， b ∈ R ＋ ，則2 aba ＋ b、 ab 、a ＋ ba2＋ b22的大小 關系是 ____ _______ _____ _____________( 由小到大 ) ． a， b∈ R a＝ b a ， b∈ R ＋ a＝ b 2 aba ＋ b ≤ ab ≤a ＋ b2 ≤a 2 ＋ b 22 第 32講 │ 知識梳理 3 ．若 a ， b ∈ R ＋ ，且 a ＋ b ＝ P ( P 為常數 ) ，則 ab 存在最 ____值為 ________ ；若 a ， b ∈ R ＋ ，且 ab ＝ S ( S 為常數 ) ，則 a ＋ b存在最 ____ 值為 ______ ． 4 ． 應 用 基 本 不 等式 求 函 數最 值 應滿 足 的條 件 是________ ____________ ____ ． 大 P24 小 2 S 一正、二定、三相等 要點探究 ? 探究點 1 利用基本不等式求最值 第 32講 │ 要點探究 例 1 (1 )[2 010 日照模擬 ] 已知 x 0 ， y 0 ， lg 2x＋ lg8y＝ lg 2 ，則1x＋1y的最小值是 ( ) A ． 2 3 B ． 4 3 C ． 2 ＋ 3 D ． 4 ＋ 2 3 (2 )[2 01 0 重慶卷 ] 已知 x 0 ， y 0 ， x ＋ 2 y ＋ 2 xy ＝ 8 ，則 x ＋ 2 y 的最小值是 ( ) A ． 3 B ． 4 C. 92 D. 112 第 32講 │ 要點探究 (1) D (2) B [ 解析 ] (1) 已知條件即 x ＋ 3 y ＝ 1 ， 故1x＋1y＝ ( x ＋ 3 y )??????1x＋1y＝ 4 ＋3 yx＋xy≥4 ＋ 23 yxxy＝ 4 ＋2 3 ，當且僅當3 yx＝xy，即 x ＝ 3 y ，也即 x ＝11 ＋ 3， y ＝13 ＋ 3時等號成立，故1x＋1y的最小值是 4 ＋ 2 3 . (2) 方法 1. ( 基本不等式法 ) ∵ 2 xy ≤????????x ＋ 2 y22， ∴ x ＋ 2 y ＋ 2 xy ≤ x ＋ 2 y ＋????????x ＋ 2 y22， ∴ x ＋ 2 y ＋( x ＋ 2 y )24≥8( x ， y 0) ，得 x ＋ 2 y ≥4. 第 32講 │ 要點探究 方法 2. ( 整體代換法 ) 設 t ＝ x ＋ 2 y ， 則 x ＝ t － 2 y ， 代入 x ＋2 y ＋ 2 xy ＝ 8 ， 得 t － 2 y ＋ 2 y ＋ 2 ( t － 2 y ) y ＝ 8 ， 整理為 4 y2－ 2 ty ＋ 8 － t ＝ 0. 由于 y 是實數 ， 故 Δ ＝ ( － 2 t )2－ 4 4 ( 8 － t ) ≥ 0 ， 解得 t ≤－ 8 ( 舍去 ) ， 或者 t ≥ 4. 故所求的最小值為 4. 方法 3. ( 降元法 ) 由 x ＋ 2 y ＋ 2 xy ＝ 8 ， 得 y ＝8 － x2 x ＋ 2， 故 x ＋ 2 y ＝ x ＋8 － xx ＋ 1＝ x ＋9 － ? x ＋ 1 ?x ＋ 1＝ x ＋9x ＋ 1－ 1 ＝ ( x ＋ 1 )＋9x ＋ 1－ 2 ≥ 6 － 2 ＝ 4 ， 故所求的最小值為 4. 第 32講 │ 要點探究 (1) [2022 金華十校模擬 ] 正數 a ， b 滿足 ab ＝ 1 ，則 a ＋ 2 b 的最小值是 ( ) A. 2 B ． 2 2 C.32 D ． 3 (2) [2022 四川卷 ] 設 a b 0 ，則 a2＋1ab＋1a （ a － b ）的最小值是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 第 32講 │ 要點探究 (1) B (2) D [ 解析 ] (1) 方法 1 ： a ＋ 2 b ≥2 2 ab ＝ 2 2 ， 當且僅當 a ＝ 2 b ，即 a ＝ 2 ， b ＝22時等號成立． 方法 2 ：由 ab ＝ 1 得 b ＝1a，故 a ＋ 2 b ＝ a ＋2a≥ 2 a 2a＝ 2 2 ，等號當且僅當 a ＝ 2 時成立． 第 32講 │ 要點探究 方法 3 ：設 t ＝ a ＋ 2 b ，則 a ＝ t － 2 b ，代入 ab ＝ 1 得 2 b2－ tb ＋ 1 ＝ 0 ，由于 b 是實數，故 Δ ＝ t2－ 8≥0 ，解得 t ≤ － 2 2 ( 舍去 ) ，或 t ≥2 2 ，故所求的最小值是 2 2 . (2) a2＋1ab＋1a （ a － b ）＝ a2－ ab ＋ ab ＋1ab＋1a （ a － b ）＝ab ＋1ab＋ a ( a － b ) ＋1a （ a － b ）≥2 ＋ 2 ＝ 4. 當且僅當 ab ＝ 1 ， a ( a － b ) ＝ 1 ，即 a ＝ 2 ， b ＝22時等號成立． ? 探究點 2 利用基本不等式證明不等式 第 32講 │ 要點探究 例 2 (1) [2022 安徽卷 ] 若 a 0 ， b 0 ， a ＋ b ＝ 2 ，則下列不等式對一切滿足條件的 a ， b 恒成立的是 __ ______( 寫出所有正確命題的編號 ) ． ① a b ≤1 ； ② a ＋ b ≤ 2 ； ③ a2＋ b2≥2 ； ② a3＋ b3≥3 ； ⑤1a＋1b≥2. (2) 已知實數 a ， b ， c 滿足 a ＋ b ＋ c ＝ 1 ，則 a2＋ b2＋ c2， ab ＋ bc ＋ ca 、13的大小關系是 ________ ． 第 32講 │ 要點探究 ( 1) ①③⑤ ( 2) ab ＋ bc ＋ ca ≤13≤ a2＋ b2＋ c2 [ 解析 ] ( 1) 令 a ＝ b ＝ 1 ，排除 ②④ . 由 2 ＝ a ＋ b ≥2 ab ?ab ≤1 ，命題 ① 正確； a2＋ b2＝ ( a ＋ b )2－ 2 ab ＝ 4 － 2 ab ≥2 ，命題③ 正確；1a＋1b＝a ＋ bab＝2ab≥2 ，命題 ⑤ 正確． 第 32講 │ 要點探究 ( 2) 由于 ( a ＋ b ＋ c )2＝ a2＋ b2＋ c2＋ 2 ab ＋ 2 bc ＋ 2 ca ≤ a2＋ b2＋c2＋ ( a2＋ b2) ＋ ( b2＋ c2) ＋ ( c2＋ a2) ＝ 3( a2＋ b2＋ c2) ，所以 a2＋ b2＋ c2≥13； 由于 a2＋ b2≥2 ab ， b2＋ c2≥2 bc ， c2＋ a2≥2 ca ，三個不等式相加得 a2＋ b2＋ c2≥ ab ＋ bc ＋ ca ， 所以 ( a ＋ b ＋ c )2＝ a2＋ b2＋ c2＋ 2 ab ＋ 2 bc ＋ 2 ca ≥ 3( ab ＋ bc ＋ca ) ，故 ab ＋ bc ＋ ca ≤13. 第 32講 │ 要點探究 已知 x ， y ， z 是互不相等的正數，且 x ＋ y ＋ z ＝ 1 ，求證：??????1x － 1 ??????1y － 1 ??????1z － 1 8. 第 32講 │ 要點探究 [ 解答 ] ∵ x 、 y 、 z 是互不相等的正數， 且 x ＋ y ＋ z ＝ 1 ， ∴1x－ 1 ＝1 － xx＝y ＋ zx2 yzx， ① 1y－ 1 ＝x ＋ zy2 xzy， ② 1z－ 1 ＝x ＋ yz2 xyz. ③ 又 ∵ 0 x 1 ， ∴1x1 ，同理1z1 ，1y 1. 將 ①②③ 三式相乘，得 ??????1x－ 1??????1y－ 1??????1z－ 1 8. ? 探究點 3 利用基本不等式解決實際應用題 第 32講 │ 要點探究 例 3 [2022 金華十校聯考 ] 有一批材料可以建成 200 m長的圍墻，如果用此批材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣材料隔成三個面積相等的矩形 ( 如圖 3 2 － 1所示 ) ，則圍成場地的最大面積為 ________( 圍墻的厚度不計 ) ． 圖 3 2 － 1 第 32講 │ 要點探究 [ 思路 ] 根據可用材料，設出矩形的一個邊長，用這個邊長表示另一個邊長，建立矩形面積關于這個邊長的函數，使用基本不等式求最值；或者設出矩形的兩個邊長 a ， b ，則 a ， b滿足一定的條件，在這個條件下求 ab 的最大值． 第 32講 │ 要點探究 2500 m2 [ 解析 ] 方法 1. 設所圍場地的長為 x ，則寬為200 － x4，其中 0 x 200 ，場地的面積為 x 200 － x4≤14????????x ＋ 200 － x22＝ 2500 m2，等號當且僅當 x ＝ 100 時成立． 方法 2. 設矩形的長、寬分別為 a 、 b ，則 a ＋ 4 b ＝ 200 ，根據基本不等式得 2 a 4 b ≤ 200 ，即 ab ≤ 2500( m2) ，當且僅當 a ＝ 4 b ，即 a ＝ 100 ， b ＝ 25 時取等號． 規律總結 第 32講 │ 規律總結 1 ．利用基本不等式可以求特定條件下的二元函數的最值，其基本思想是通過變換的方法在已知條件和求解目標之間建立起使用基本不等式的條件，即 “ 一正、二定、三相等 ” ，其中對條件和求解目標的變換是解題的關鍵． 第 32講 │ 規律總結 2 ．利用基本不等式證明新的不等式的基本思路是利用基本不等式對所證明的不等式中的某些部分進行放大或者縮小，在含有三個字母的不等式證明中要注意利用對稱性． 3 ．利用基本不等式解決實際問題的關鍵是使用變量表示求解目標，可以建立一個變量的函數關系，也可以建立滿足一定條件的二元函數關系．