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高考數學理一輪復習課件第77講不等式的證明方法人教a版-資料下載頁

2025-12-30 14:10本頁面

　　

【正文】 ) 因為a2b＋ b ≥ 2 a ，b2c＋ c ≥ 2 b ，c2a＋ a ≥ 2 c ，故a2b＋b2c＋c2a＋ ( a ＋ b ＋ c ) ≥ 2 ( a ＋ b ＋ c ) ，即a2b＋b2c＋c2a≥ a ＋ b ＋ c ，所以a2b＋b2c＋c2a≥ 1. 3. ( 2 0 1 1 安徽卷 ) ( 1 ) 設 x ≥ 1 ， y ≥ 1 ，證明： x ＋ y ＋1xy≤1x＋1y＋ xy ； ( 2 ) 1 ＜ a ≤ b ≤ c ，證明： l o gab ＋ lo gbc ＋ l o gca ≤ l o gba ＋lo gcb ＋ l o gac . 證明： ( 1 )( 方法一：分析法 ) 因為 x ≥ 1 ， y ≥ 1 ，所以欲證： x ＋ y ＋1xy≤1x＋1y＋ xy ，只需證： xy ( x ＋ y ) ＋ 1 ≤ y ＋ x ＋ x2y2，即證： ( y ＋ x ＋ x2y2) － [ xy ( x ＋ y ) ＋ 1 ] ≥ 0 ，只需證： ( x2y2－ 1 ) － [ xy ( x ＋ y ) － ( x ＋ y )] ≥ 0 ，只需證： ( xy ＋ 1 )( xy － 1 ) － ( x ＋ y )( xy － 1 ) ≥ 0 ，即證： ( xy － 1 )( xy ＋ 1 － x － y ) ≥ 0 ，只需證： ( xy － 1 )( x － 1 )( y － 1 ) ≥ 0 ，因為 x ≥ 1 ， y ≥ 1 ，所以 ( xy － 1 )( x － 1 )( y － 1 ) ≥ 0 是成立的，從而所要證明的不等式成立． ( 方法二：比較法 )(1x＋1y＋ xy ) － ( x ＋ y ＋1xy) ＝1xy[( y ＋ x ＋ x2y2) － xy ( x ＋ y ) － 1 ] ＝1xy{ ( x2y2－ 1 ) － [ xy ( x ＋ y ) － ( x ＋ y )] } ＝1xy[( xy ＋ 1 )( xy － 1 ) － ( x ＋ y )( xy － 1 )] ＝1xy( xy － 1 )( xy ＋ 1 － x － y ) ＝1xy( xy － 1 )( x － 1 )( y － 1 ) ．因為 x ≥ 1 ， y ≥ 1 ，所以1xy( xy － 1 )( x － 1 )( y － 1 ) ≥ 0 ，故 x ＋ y ＋1xy≤1x＋1y＋ xy . ( 2 ) 設 lo gab ＝ x ， l o gbc ＝ y ，由對數的換底公式得 lo gca ＝1xy， l o gba ＝1x， lo gcb ＝1y， lo gac ＝ xy ，于是，所要證明的不等式即為 x ＋ y ＋1xy≤1x＋1y＋ xy ，其中 x ＝ l o gab ≥ 1 ， y ＝ lo gbc ≥ 1 ，故由 ( 1 ) 知所要證明的不等式成立．

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