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蘇州昆山市石牌中學(xué)中考專題復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案：圓的基本性質(zhì)(含答案)-資料下載頁(yè)

2026-01-01 00:43本頁(yè)面

　　

【正文】如圖 1 所示：連接 OA，過 O 作 OE⊥ AB 于 E， OF⊥ AC 于 F， ∴∠ OEA=∠ OFA=90176。，由垂徑定理得： AE=BE= ， AF=CF= ， cos∠ OAE= = ， cos∠ OAF= = ， ∴∠ OAE=30176。， ∠ OAF=45176。， ∴∠ BAC=30176。+45176。=75176。； ② 如圖 2 所示：連接 OA，過 O 作 OE⊥ AB 于 E， OF⊥ AC 于 F， ∴∠ OEA=∠ OFA=90176。，由垂徑定理得： AE=BE= ， AF=CF= ， cos∠ OAE═ = ， cos∠ OAF= = ， ∴∠ OAE=30176。， ∠ OAF=45176。， ∴∠ BAC=45176。﹣ 30176。=15176。；故答案為： 75176。或 15176。． 13.（ 2022黑龍江龍東 3 分）如圖， MN 是 ⊙ O 的直徑， MN=4， ∠ AMN=40176。，點(diǎn) B 為弧AN 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 是直徑 MN 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 PA+PB 的最小值為 2 ．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱最短路線問題；圓周角定理．【分析】過 A 作關(guān)于直線 MN 的對(duì)稱點(diǎn) A′，連接 A′B，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知 A′B即為 PA+PB的最小值，由對(duì)稱的性質(zhì)可知 = ，再由圓周角定理可求出 ∠ A′ON的度數(shù)，再由勾股定理即可求解．【解答】解：過 A 作關(guān)于直線 MN 的對(duì)稱點(diǎn) A′，連接 A′B，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知 A′B即為PA+PB 的最小值，連接 OB， OA′， AA′， ∵ AA′關(guān)于直線 MN 對(duì)稱， ∴ = ， ∵∠ AMN=40176。， ∴∠ A′ON=80176。， ∠ BON=40176。， ∴∠ A′OB=120176。，過 O 作 OQ⊥ A′B于 Q，在 Rt△ A′OQ中， OA′=2， ∴ A′B=2A′Q=2 ，即 PA+PB 的最小值 2 ．故答案為： 2 ．三、解答題 14. （ 2022?佛山）如圖， ⊙ O 的直徑為 10cm，弦 AB=8cm， P 是弦 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求OP 的長(zhǎng)度范圍．【解析】垂徑定理；勾股定理．過點(diǎn) O 作 OE⊥ AB 于點(diǎn) E，連接 OB，由垂徑定理可知AE=BE=AB，再根據(jù)勾股定理求出 OE 的長(zhǎng)，由此可得出結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn) O 作 OE⊥ AB 于點(diǎn) E，連接 OB， ∵ AB=8cm， ∴ AE=BE=AB=8=4cm， ∵⊙ O 的直徑為 10cm， ∴ OB=10=5cm， ∴ OE=3cm， ∴ 3cm≤OP≤5cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 15. （ 2022?柳州）如圖，在 △ ABC 中， ∠ BAC 的角平分線 AD 交 BC 于 E，交 △ ABC 的外接圓 ⊙ O 于 D．（ 1）求證： △ ABE∽△ ADC；（ 2）請(qǐng)連接 BD， OB， OC， OD，且 OD 交 BC 于點(diǎn) F，若點(diǎn) F 恰好是 OD 的中點(diǎn)．求證：四邊形 OBDC 是菱形．【解析】相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；圓周角定理．（ 1）根據(jù)圓周角定理求出∠ B=∠ D，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；（ 2）根據(jù)垂徑定理求出 OD⊥ BC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出 OB=BD， OC=CD，根據(jù)菱形的判定推出即可．【解答】證明：（ 1） ∵∠ BAC 的角平分線 AD， ∴∠ BAE=∠ CAD， ∵∠ B=∠ D， ∴△ ABE∽△ ADC；（ 2） ∵∠ BAD=∠ CAD， ∴ 弧 BD=弧 CD， ∵ OD 為半徑， ∴ DO⊥ BC， ∵ F 為 OD 的中點(diǎn)， ∴ OB=BD， OC=CD， ∵ OB=OC， ∴ OB=BD=CD=OC， ∴ 四邊形 OBDC 是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，圓周角定理，垂徑定理，菱形的判定，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力． 16．（ 2022 貴州省黔西南州， 22， 12 分）如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑，弦 CD⊥ AB 與點(diǎn) E，點(diǎn)P 在 ⊙ O 上， ∠ 1=∠ C，（ 1）求證： CB∥ PD；（ 2）若 BC=3， sin∠ P=35，求 ⊙ O 的直徑．【解析】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；銳角三角函數(shù)的定義．幾何綜合題．（ 1）要證明 CB∥ PD，可以求得 ∠ 1=∠ P，根據(jù) = 可以確定 ∠ C=∠ P，又知 ∠ 1=∠ C，即可得∠ 1=∠ P；（ 2）根據(jù)題意可知 ∠ P=∠ CAB，則 sin∠ CAB=，即 =35，所以可以求得圓的直徑．【解答】（ 1）證明： ∵∠ C=∠ P 又 ∵∠ 1=∠ C ∴∠ 1=∠ P ∴ CB∥ PD；（ 2）解：連接 AC ∵ AB 為 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ACB=90176。又 ∵ CD⊥ AB， ∴ = ， ∴∠ P=∠ CAB， ∴ sin∠ CAB=35，即 = ，又知， BC=3， ∴ AB=5， ∴ 直徑為 5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理和平行線、圓周角性質(zhì)，解題時(shí)細(xì)心是解答好本題的關(guān)鍵．

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