高中數學奧賽專題-資料下載頁

　　

【正文】 .6可得,消去,整理得,有或(舍去),得,所以所求的橢圓方程為.7設點P是所求曲線上任一點,它關于對稱的點在上,有,即.8設點P,M,有,得,而,于是得點M的軌跡方程是.9由條件可得或,設P代入可知交點的軌跡是兩個圓.10解:(I) 設點M,由,得P由,得.所以,動點M的軌跡C是以(0,0)為頂點,以(1,0)為焦點的拋物線,除去原點.(II)設直線:,其中,代入,整理得 ①設A,B,=,有AB的中點為,AB的垂直平分線方程為,令,有E由為正三角形,E到直線AB的距離為,知.由,解得,所以.11(I)證明:直線的方程為:由,得P,又成等差數列,得A(,0),有,于是,因此.(II)由,得,:由,消去,整理得 ①設D,E,由已知有,且,是方程①的兩個根.,解得或.又,得=,因此.12解:(I),設則,去掉絕對值號有兩種情況,分別得的軌跡方程為和()(II)直線:,:,D(1,4),橢圓Q:①若過點或D,由,D兩點既在直線上,又在橢圓Q上,但不在的軌跡上,知與的軌跡只有一個公共點,不合題意.②若不過,D兩點().則與必有一個公共點E,且點E不在橢圓Q上,所以要使與的軌跡有且只有兩個公共點,必須使與Q有且只有一個公共點,把代入橢圓的方程并整理得由,得.專題六 空間向量 簡單幾何體一 能力培養1,空間想象能力 2,數形結合思想 3,轉化能力 4,運算能力二 問題探討問題1(如圖)在棱長為1的正方體ABCD中,ABCDABCD(1)求異面直線B與C所成的角的大小。(2)求異面直線B與C之間的距離。(3)求直線B與平面CD所成的角的大小。(4)求證:平面BD//平面C。(5)求證:直線A平面BD。 (6)求證:平面AB平面BD。(7)求點到平面C的距離。 (8)求二面角C的大小.ACBABC問題2已知斜三棱柱ABCD的側面AC與底面垂直,且AC, A=C.(1)求側棱A和底面ABC所成的角的大小。(2)求側面AB和底面ABC所成二面角的大小。(3)求頂點C到側面AB的距離.三 習題探討選擇題1甲烷分子由一個碳原子和四個氫原子組成,其空間構型為一正四面體,碳原子位于該正四面體的中心,個點(體積忽略不計),且已知碳原子與每個氫原子間的距離都為,則以四個氫原子為頂點的這個正四面體的體積為A, B, C, D,2夾在兩個平行平面之間的球,圓柱,圓錐在這兩個平面上的射影都是圓,則它們的體積之比為A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:33設二面角的大小是,P是二面角內的一點,P點到的距離分別為1cm,2cm,則點P到棱的距離是A, B, C, D,ABCDEF4如圖,E,F分別是正三棱錐ABCD的棱AB,BC的中點,=,則此正三棱錐的體積是A, B,C, D,5棱長為的正八面體的外接球的體積是A, B, C, D,填空題6若線段AB的兩端點到平面的距離都等于2,則線段AB所在的直線和平面 的位置關系是 .7若異面直線所原角為,AB是公垂線,E,F分別是異面直線上到A,B距離為2和平共處的兩點,當時,線段AB的長為 .8如圖(1),在直四棱柱中,當底面四邊形滿足條件 時,有C(注:填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形)ABCDABCD圖(1)ABENM圖(2)CDF9如圖(2),是一個正方體的展開圖,在原正方體中,有下列命題:①AB與EF所連直線平行。 ②AB與CD所在直線異面。③MN與BF所在直線成。 ④MN與CD所在直線互相垂直.其中正確命題的序號為 .(將所有正確的都寫出)解答題10如圖,在中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分別交AB,AC于D, DE折起來使得A到,且為的二面角,求到直線BC的最小距離.ABOCDEOA11如圖,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.(1)問BC邊上是否存在點Q使得PD?并說明理由。(2)若邊上有且只有一個點Q,使得PD,求這時二面角Q的正切.ABCDPQ參考答案:問題1(1)解:如圖,以D為原點建立空間直角坐標系,有(1,0,1),B(1,1,0),(1,1,1),C(0,1,0)得,設與所成的角為,則,又,得所以異面直線B與C所成的角的大小為.(2)設點M在B上,點N在C上,且MN是B與C的公垂線,令M,N,則由,得,解得,所以,得,即異面直線B與C之間的距離為.(3)解:設平面CD的法向量為,而,由,有,得,于是,設與所成的角為,則,又,有.所以直線B與平面CD所成的角為.(4)證明:由//C,C平面C,得//平面C,又BD//,平面C,得BD//平面C,而,于是平面BD//平面C.(5)證明:A(1,0,0),(0,1,1),有及,得,于是,直線A平面BD.(6)證明:由(5)知平面BD,而平面AB,得平面AB平面BD.(7)解:可得C=C==,有由,得,即,得所以點到平面的距離為.(8)解:由(3)得平面CD的法向量為=,它即為平面的法向量.設平面的法向量為,則, 又由,得,所以設與所成的角為,則所以二面角的大小為.問題2解:建立如圖所示的空間直角坐標系,由題意知A,B(0,0,0),C(0,2,0).又由面AC面ABC,且A=C,知點,平面ABC的法向量.(1),得于是,側棱和底面ABC所成的角的大小是.(2)設面AB的法向量,則由得,.于是,又平面ABC的法向量,得,有.所以側面AB和底面ABC所成二面角的大小是.(3)從點C向面AB引垂線,D為垂足,則所以點C到側面AB的距離是.習題1過頂點A,V與高作一截面交BC于點M,點O為正四面體的中心,為底面ABC的中心,設正四面體VABC的棱長為,則AM==VM,=,得在中,即,得.則,.溫馨提示:正四面體外接球的半徑:內切球的半徑=.2 ,選B.3設PA棱于點A,PM平面于點M,PN平面于點N,PA=,則,得,有或(舍去),所以,選B.4由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.由對稱性得,于是.,選B.5可由兩個相同的四棱錐底面重合而成,有,得,外接球的體積,選D.6當時,AB//。當時,AB//或AB。當時,AB//或與斜交.7由,得(1)當時,有,得。(2)當時,有,得.8 ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等)9將展開的平面圖形還原為正方體,可得只②,④正確.10解:設的高AO交DE于點,令,由AO=,有,在中,有得.當時,到直線BC的最小距離為6.11解:(1)(如圖)以A為原點建立空間直角坐標系,設,則Q,P(0,0,1),D得,由,有,得 ①若方程①有解,必為正數解,得.(i)當時,BC上存在點Q,使PD。(ii)當時, BC上不存在點Q,使PD.(2)要使BC邊上有且只有一個點Q,使PD,則方程①有兩個相等的實根,這時,得,有.又平面APD的法向量,設平面PQD的法向量為而,由,得,解得有,則,則所以二面角的正