[理學]第七章留數定理及其應用-資料下載頁

　　

【正文】 a xRi b xi a xdxxeeeedxxeedxxeeddd222∴ ? ? ? ?? ?? ???? R i b xi b xi a xi a x dxxeeeed2? ??Rdxxbxaxd2c osc os2又由約當引理知：大弧積分為零。 當 時 01,a r g0 ????? zzz ?0l im 2 ????dzzeRCi a zR由引理一知：小弧上的積分值。 )(002 baizibeiaezeezeezzi b zi a zzi b zi a zi b zi a z??????????????)()0(lim 20baikdzz eeCi b zi a z?????????dd0l im 2 ????dzzeRCi b zR0)(c o sc o s222222????????????????????badxxbxaxdzzeedxxeedzzeedxxeeRCi b zi a zR i b xi a xCi b zi a zRi b xi a x?dddd即 )(2c osc os2abdxxbxax??????d???????????????? dzzeeidzzee ziizizzi3333 3)2(12 例題 解 計算積分 ?????? dxx xI 33s in31)(zzf ? 在實軸上有三階極點 z = 0 ????????????? dzzeedzzz iziz3333 23s i n1I?2I???????? dzzeei izzi23 )(由約當引理知：大弧積分為零。 當 時 01,a r g0 2 ????? zzz ???? ?????? RCizziRRixxiCizzidzz eedxx eedzz ee 333333 333R? RRCdCd? do對于 I1 作圍道 C，如下圖 03lim 33?????dzz eeRCizziR故 iI ?61 ??)0(2 r es fi ?? ?033322 3!22????????? ???zizzizeezdzdi?? ? ieei zizzi 03 39!22 ???? ? i?6??R? RRC?dCd? do0333 333333?????? ????????????RCziizRRziizCziizdzzeedxzeedzzee故 02 ?I對于 I2 作圍道 C’ ，如下圖 弧積分在下半平面，以保證 能滿足約當引理中 的 ziiz ee 33 ?? ?0?pe ip z由約當引理知：大弧積分為零。 當 時 01,)a r g (0 2 ?????? zzz ?03lim 33?????dzz eeRCizziR由以上分析可知 ?43)2( 1)2( 1s in 231333???? ?????IiIidxx xI類似地可以求出 ???????dxx x22s in?43s in 33??????dxx x ?32s in 44??????dxx x ??10 22)1()!1(s in 2 ???????????? ??????????? ??nkknnnknknndxxxIn?計算這類積分的關鍵：選擇正確的復變積分的被積函數。 相應的復變積分為 ， z = 0 和 ∞ 是被積函數的極點，沿正實軸作割線，并規定割線上岸 ，積分路徑如上圖， 。 多值函數的積分 ? ?Cs dzzQz )(1????01 )( dxxQxI s計算方法： s 為實數， Q(x) 單值，在正實軸上沒有奇點。 0arg ?z?2a r g0 ?? zRoRCdCd 例題 解 計算積分 ????????????? ?? ?,10,01dxex xI i0lim,0lim,10110 ????????????? ????? iziz ez zzez zz∵ ∴ ???????????????????????????????d????d?????d2a r g z0111111res2iCiRiCiRiCiezzidzezzdxexxdzezzdxexxdzezzRRoRCdCd0,011???? ????d????CiCi dzezzdzezzR如圖沿正實軸作割線，并規定割線上岸 0arg ?z圍道內僅有一個一階極點 )1()1)((11)()(r e s?????????????????????????????iiiezezieeezezzii)( ?? ?? iez當 時 ??? R,0d? ?)1(0 2 12012)()( ???? ???????? ????????????? iiiiii eeidxexexedxexx? ?)1(01)1(2012 ?? ??? ???????? ????????????? iiiii eeidxexxedxexx? ?)1()1(20112 ??? ???????????????? ?iiii eeeidxexx? ?)1(21 2 ?????? ??????? iii eee i)1(221????? ??????? iii eeie)1(2?? ?????????? iii eiee)1(s i n??? ????? ie由此可推知一些積分，如 時 0??????s in101???? ?dxxx 下一章學習 G 函數時會直接用到這個結果 實虛部分開 ])1s i n ()1[ c o s (s i ns i nc o s01??????????????????? ?idxix x])1s in ()1[ c o s (s ins in)c o s()s inc o s(0221???????????? ??????????? ? idxxixx比較虛部可知 ????????s in)1s in (s in1c o s20 21 ??????? ?dxxxx???????????????? ??)1s in (s in)1c o s (s ins in)c o s(s ins in)c o s()c o s(02210221????????????????? ?? ?idxxxidxxxx積分類型 變 換 圍 道 相關定理 有理三角函數積分 單位圓周 無窮積分 [R, R]+CR 引理二 含三角函數無窮積分 [R, R]+CR 引理二 約當引理 實軸上有奇點的積分 [R, d]+Cd+[d, R]+CR 引理一 引理二 約當引理 多值函數 積分 由割線作法決定 引理一 引理二 約當引理 ?iez ??? diedz i?)()( zfxf ?ipzepxpx ?s i nc o s