[理學]第四章彎曲應力-資料下載頁

　　

【正文】 求得支座 A和 B處的約束力分別為 104 5 0 m m10k N / m102 333RR ???????? qlFF BAFRA FRB 3RR 2 2 5 1 0 N2 .AB qlFF? ? ? ?梁的中點處橫截面上彎矩最大 ， 數值為 )104 5 0 m m(10k N / m108 32332m a x ???????? qlMl/2 l/2 FRA FRB 2. 計算慣性矩 根據矩形截面慣性矩的公式 ,本例題中 ， 矩形截面對 z軸的慣性矩為 483333 m105412 )10mm30(10mm2022 ???????? .bhI zl/2 l/2 FRA FRB 3． 求彎矩最大截面上 2兩點的正應力 均布載荷作用在縱向對稱面內 ， 因此橫截面的水平對稱軸 (x)就是中性軸 。 根據彎矩最大截面上彎矩的方向 ， 可以判斷： 1點受拉應力 ， 2點受壓應力 。 2兩點到中性軸的距離分別為 331 ?? ??????? hhhym1015210302 332 ?? ????? hyl/2 l/2 FRA FRB 3． 求彎矩最大截面上 2兩點的正應力 FRA FRB 31 7 5 1 0 ??? 32 1 5 1 0 my ???于是 ， 在彎矩最大截面上 ， 2兩點的正應力分別為 ? ? 33 8m a x 1 8 40 . 2 5 3 N m 1 0 7 . 5 1 0 m1 0 . 4 2 2 1 0 P a 4 2 . 2 M P a ( )4 . 5 1 0 mzMyI??? ? ? ?? ? ? ? ?? 拉? ? 33 3m a x 2 8 40 . 2 5 3 N m 1 0 1 5 1 0 m2 0 . 8 4 2 1 0 P a 8 4 . 4 M P a ( )4 . 5 1 0 mzMyI??? ? ? ?? ? ? ? ?? 壓例題 螺栓壓板夾緊裝置如圖所示（ B截面有一直徑為 14mm的圓孔） .已知板長 3a＝ 150mm，壓板材料的彎曲許用應力 [σ ]＝ 傳給工件的最大允許壓緊力 F. 2 2 3 2 2 384( 3 1 0 ) ( 2 1 0 ) ( 1 .4 1 0 ) ( 2 1 0 )1 2 1 21 .0 7 1 0 mzI? ? ? ??? ? ? ?????A C B F a 2a 20 30 φ14 FRA FRB + Fa 解：（ 1）作出彎矩圖 ,得梁的最大彎矩為 Fa； （ 2）求慣性矩，彎曲截面系數 A C B F a 2a 20 30 φ14 FRA FRB + Fa 8632m a x1. 07 10 1. 07 10 m1 10zzIWy????? ? ? ??（ 3）求許可載荷 ][m a x σWM z?3kNN3103][][?????aσzWFσzWFa80 y 1 y 2 20 20 120 z 例題 T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示 . 鑄鐵的抗拉許用應力為 [?t] = 30MPa ， 抗壓許用應力為 [?c] =160MPa. 已知截面對形心軸 z的慣性矩為 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的強度 . F1=9kN F2=4kN A C B D 1m 1m 1m FRA FRB F1=9kN F2=4kN A C B D 1m 1m 1m + 4kNm 解： kN52R .F A ? kN510R .F B ?最大正彎矩在截面 C上 最大負彎矩在截面 B上 ??M CmkN4 ??M B B截面 ][M P t1m axt σI yMσzB ???][M P c2m axc σI yMσzB ???C截面 80 y 1 y 2 20 20 120 z ][M P t2m a xt σI yMσzC ???1c m a xCzyMσI?一、梁橫截面上的切應力（ Shear stresses in beams） (Beam of rectangular cross section) 167。 43 彎曲切應力 （ 1）兩個假設 (Two assumptions) （ a） 切應力與剪力平行； （ b）切應力沿截面寬度均勻分布 （距中性軸等距離處切應力相等） . q(x) F1 F2 （ 2）分析方法 (Analysis method) （ a） 用橫截面 mm , nn從梁中截取 dx一段 .兩橫截面上的彎矩不等 . 所以兩截面同一 y處的正應力也不等； （ b） 假想地從梁段上截出體積元素 mB1，在兩端面 mA1， nB1上兩個法向 內力不等 . q(x) F1 F2 m m n n x dx m n n m x y z O b dx m’ m’ h y A B A1 B1 A B B1 A1 m n x z y y m? FN2 FN1 m n n m x y z O y A B A1 B1 b dx m’ m’ h n τ τ’ （ c）在縱截面上必有沿 x 方向的切向內力 dQ′.故在此面上就有切應力 τ. 根據假設，橫截面上距中性軸等遠的各點處切應力大小相等 . 各點的切應力方向均與截面側邊平行 .取分離體的平衡即可求出 . A B B1 A1 m n x z y y FN1 FN2 dQ’ m? A B B1 A1 m n x z y y m’ FN1 FN2 dQ’ （ 3）公式推導 (Derivation of the formula) 假設 mm， nn上的彎矩為 M和 M+dM，兩截面上距中性軸 y1 處的正應力為 ?1 和 ?2. A1為距中性軸為 y的橫線以外部分的橫截面面積 . ?? 1 d11N A AσFAyIMAIMyAzA zdd1111 ?? ????zzSIM???? ?zzASI MMAσF dd122N式中： 為面積 A1對中性軸的靜矩 . ???1d1Az AySAd1?化簡后得 ??zzSIMF 1N???zzSI MMF d2NddQ b x????由平衡方程 0?? xF 39。N 2 N 1 dQ 0FF ? ? ?bISxMzz???? dd?ddM Qx ?zzQSbI???A B B1 A1 m n x z y y m’ FN1 FN2 dQ’ Ad1?b 矩型截面上 y點的寬度 . zzQSIb???y A*z 整個橫截面對中性軸的慣性矩 . zI距中性軸為 y的橫線以外部分橫 截面面積對中性軸的靜矩 . Sz?（ 4）切應力沿截面高度的變化規律 ( The shear stress istribution on the rectangular cross section ) ? 沿截面高度的變化由靜矩 與 y之間的關系確定 . Sz? yd1y1 n B m A x y z O y A1 B1 m1 ??? 1 d1Az AyS 2/2 211d ( )24hybhy b y y? ? ??22()24zzzQS Qh yI b I??? ? ?可見，切應力沿截面高度按拋物線規律變化 . z τmax y=177。 h/2（即在橫截面上距中性軸最遠處） τ=0 y=0（即在中性軸上各點處），切應力達到最大值 22m a x 3328 8 12zQ Q Qhhbh bhI? ? ? ? ??m a x32QA? ??式中， A=bh為矩形截面的面積 . 1 () (22 )2h yh y b? ??截面靜矩的計算方法 A1為距離中性軸為 y以下截面面積 y 為 A1截面的形心坐標 111 dz A y A A yS ???（工 section beam) 假設求應力的點到中性軸的距離為 y. 研究方法與矩形截面同，腹板上切應力的計算公式亦為 H o y B x b z h *zzQSIb? ?z A1 yyb — 腹板的厚度 O z y y A*zzQSIb???— 距中性軸為 y的橫線以外部分的橫截 面面積 A對中性軸的靜矩 . Sz*22 2 2* ( ) ( )8 2 4zB b hH h yS ? ? ? ?22 2 2[ ( ) ( ) ]8 2 4zQ B b hH h yIb? ? ? ? ?（ a）腹板上的切應力沿腹板高度按二次拋物線規律變化； 22m a x ()88zQ B H hBbIb? ??? ? ?????（ b）最大切應力也在中性軸上 .這也是整個橫截面上的最大切應力 . m inm a x ?? ? Qbh? ??min ?max o z y τmax 22m i n 88zQ B H hBIb? ????????當 y=0時，切應力最大 當 y=177。 h/2時，切應力最小 y d z O 39。k39。Ok假設： （ a）沿寬度 kk39。上各點處的切應力 均匯交于 O39。點； （ b）各點處切應力沿 y方向的分量沿 寬度相等 . 在截面邊緣上各點的切應力的方向與圓周相切 . (Beam of circular cross section) *zyzQSbI? ?最大切應力發生在中性軸上 y d z O 39。k39。Ok*m a x43zzSI b A? ??式中 為圓截面的面積 . ?2π4dA* 42zRS ?2π3 πR二、強度條件（ Strength condition） ][m a x ?? ? *m a x m a xm a x []zzQSbI????三、需要校核切應力的幾種特殊情況 （ 1）梁的跨度較短， M 較小，而 Q較大時 ,要校核切應力； （ 2）鉚接或焊接的組合截面 ,其腹板的厚度與高度比小于型鋼 的相應比值時，要校核切應力； （ 3） 各向異性材料 (如木材 )的抗剪能力較差， 要校核切應力 . F 例題 4 一簡易起重設備如圖所示 .起重量 (包含電葫蘆自重 )F = 30 kN. 跨長 l = 5 m. 吊車大梁 AB由 20a工字鋼制成 .其許用彎曲正應力 [?]=170MPa,許用彎曲切應力[?]= 100MPa ，試校核梁的強度 . + kNm 5m A B F C 解：此吊車梁可簡化為簡支梁，力 F 在梁中間位置時有最大正應力 . a x ??M（ a）正應力強度校核 由型鋼表查得 20a工字鋼的 3cm237?W z所以梁的最大正應力為 ][M P a158m a xm a x σWMσz???+ Qmax 5m A B F C （ b）切應力強度校核 在計算最大切應力時，應取荷載 F在緊靠任一支座例如支座 A處所示，因為此時該支座的支反力最大，而梁的最大切應力也就最大 . m a x R 3 0 k NAQ F F? ? ?查型鋼表中， 20a號工字鋼，有 *m a x?S Izz d=7mm *m a xm a xm a x 2 4 . 9 M P a [ ]zzSQdI ?? ? ? ?據此校