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2026-03-29 01:56本頁面

　　

【正文】圖5 由實軸上直線段（R,R）和所圍的閉曲線（m0）屬于在積分路徑上有單極點的實變函數積分，即由所唯一確定的解析函數在整個平面上僅有實軸上一個單極點z = 0，則根據上式有: 留數定理在研究光的衍射時需要計算的菲涅爾積分中的應用設=，=在研究菲涅爾衍射時，其光場中某點的振動可為下面公式表示: （37）該式稱為菲涅爾衍射公式，一般來說計算式相當復雜的，但在傍軸近似下，可以利用二項式近似簡化，通過求解菲涅爾積分圖6 閉曲線由實軸上（0，R）,圓弧z=及z=（r從R變化到0）組成取圖6 所示輔助曲線構成復平面上的閉合曲線，當R→∞時，沿實軸的積分即待求積分．在此極限下沿圓弧的積分根據若爾當引理其值為零，沿射線的積分可以通過第二類歐拉積分Γ( x) =,由Γ() = ， t = ，可得則: 從而 == 留數定理在用傅里葉變化法求解熱傳導問題的偏微分方程時將遇到的積分中的應用對于一維無源導熱問題，各點在任意時刻的溫度可以用定解問題描述: （38）用傅里葉變換法求解該方程時，得到的像函數的一部分為，其原函數需要通過求解積分得到．輔助曲線取矩形，即: 實軸上(－N,N) ，: 平行于虛軸的( N，0 )→( N，) ， : 平行于實軸的( N,)→(－N，) 及: 平行于虛軸的(－N，)→( － N,0) 四段構成閉曲線，如圖5 所示: 圖7 矩形閉曲線圖7 矩形閉曲線由于在該閉曲線內函數無奇點，根據留數定理可知函數沿閉曲線積分的值為零:當N→∞時，可以證明沿，的積分值為零，沿的積分在h =時可以借助第二類歐拉積分在=時的值求出，即，則因此，利用留數定理求解實變函數反常積分，一般要通過取適當的輔助曲線，將實變函數積分轉化為求解沿閉曲線的復變函數積分．這種方法的前提是被積函數要滿足一定的條件，即并非所有的實變函數反常積分都能通過這種方法來求解．對于物理問題的積分，由于有明確的物理意義，一般是滿足數學上求解的條件的．第四章結語留數定理是復變函數論具體應用于積分計算和一些公式推導中的一個非常有力的工具．本文闡述了留數的定義，留數定理及計算一般規則，就區域上及區域境界線上有極點的情況對留數定理進行了推廣，并將留數定理及留數定理及推廣了的留數定理應用于電磁學、阻尼振動、菲涅爾衍射及熱傳導等具體的物理問題所遇到的反常積分的求解上，使得推導求解不再繁瑣，大大簡化了計算過程．參考文獻[1] （第四版）[M].高等教育出版社[2] 朱茱，劉敏．在積分路徑G上的柯西積分公式[J]．卑陽師范學院學報，2004，21(4)：60—63[3] 《電磁學》上冊 [4] (自然科學版) 2012[5] 姚啟鈞 .光學教程[M]．北京：高等教育出版社，2002[6] 四川大學數學學院高等數學、（第三版第四冊）[M].高等教育出版社[7] 胡嗣柱. 倪光炯．數學物理方法[M].北京：高等教育出版社，200220

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