大學數學簡明教程習題參考解答-資料下載頁

　　

【正文】 ：(1) ；解：∵ ∴=–2cotxcsc2x(2) ；解：∵∴(3) ；解： (4) ，求；解：∵ ∴(5) ，求；解：∵ ∴(6) ；解：7. 求下列函數的二階導數：(1) ；解：∵ 　∴(2) ；解：∵∴8. 落在平靜水面上的石頭使水產生同心波紋，若最外一圈波紋的半徑增大率總是 6 m/s，問在 2 s末被擾動水面的面積增大率是多少？解：設在 t s末被擾動水面的面積為S(m2)，在 t s末波半徑是 6t(m)，則S=π(6t)2=36πt2于是，=72πt，所以在 2 s末被擾動水面的面積增大率是(2)=72π2=144π(m2/s)9. 一氣球從離觀察員 500 m 處離地鉛直上升，其速度為 140 m/s，當氣球的高度為 500 m 時，觀察員的視線的傾斜角增加的速度是多少？解：設觀察員的視線的傾斜角為 A，氣球上升的高度為 h，A 與 h 均是時間 t 的函數. 由于tanA=h/500所以A=arctan(h/500)由題設條件可知，氣球上升的速度是，那么，當氣球的高度為 500 米時，觀察員的視線的傾斜角增加的速度是(弧度/s)10. 設以 50 cm3/s 的速率把氣體打進一個球形的氣球內，假定氣球的壓力不變，而且氣球總是一個球形，問當氣球的半徑為 5 cm 時，氣球半徑的增加率是多少？解：設氣球的半徑為 r(cm)，氣球的體積為 V(cm3)，它們都是時間 t 的函數. 對V=r3，兩邊關于 t 求導，得依題設，氣球體積增大的速率是(cm3/s)，于是，當氣球的半徑為 5 cm 時，氣球半徑的增加率是(cm/s)11. 設某產品一周的產量為，其中 x 是裝配線上勞動者的人數. 如果現在有 60 人在裝配線上.(1) 計算，看看一周產量的實際變化. (2) 求，并解釋一下，由于增加一個人，一周產量變化的情況.解：(1) Q(61)–Q(60)=(20061+6612)–(20060+6602)=926(2)由此可知，在現有 60 人的裝配線上再增加一個人，一周產量約增加 920.12. 植物發生光合作用的大小 P(x) 取決于光的強度 x，P(x)=145x2–30x3.(1) 求光合作用 P 關于光強度 x 的變化率(光合作用的速率).(2) 當時，時，光合作用的變化率是多少?(3) 當時，時，光合作用速率的變化率是多少?解：(1) 光合作用 P 關于光強度 x 的變化率是.(2) 當 x=1 時，光合作用的變化率是 當 x=3 時，光合作用的變化率是(3) 光合作用速率的變化率是，于是，當 x=1 時，光合作用速率的變化率是當 x=3 時，光合作用速率的變化率是13. 在一烤箱里放入一塊甘薯，并保持爐溫 200 ℃. 假定 t=30 min 時，甘薯的溫度以 120 ℃/h 的速度增加. 牛頓冷卻(在這里是加熱)定律說明，時刻的溫度由下式給出： 求和.解：由于爐溫保持在 200 ℃，所以甘薯最終也將升溫為 200 ℃，于是，得這樣，在 t=30 min= h 時，甘薯的溫度以 120 ℃/h 的速度增加，故有即：將已求得的 a=200，代入上式，可得方程 200be––120=0.對于函數 f(b)= 200be––120，令=0于是，當 b2 時，f(b) 單調增加；當 b2 時，f(b) 單調減少.又f(0)=–1200，f(2)=400e–1–1200，f(4)=800e–2–1200，容易知道 f(b) 在區間(0，2)、(2，4)各有一個零點，這兩個零點也是 f(b) 的全部零點. 求得b≈ 67.14. 某種滑板的銷售量 q 取決于銷售價格 p，設為給定，.(1) 從和中，對滑板的銷售情況有何了解？(2) 滑板的銷售總收入 R 由 R=pq 給出，求；(3) 的符號是什么？若眼下每副滑板賣 140 元，是提高還是降低該價格才能使總收入增加？解：(1) 由可知，滑板的銷售價格定為 140 時，滑板的銷售量是 15 000；由可知，在滑板的銷售價格定為 140 時，銷售價格上調 1，那末銷售量將減少 100.(2) ∵R=pq=pf(p)(3) 的符號是正的，說明在 p=140 的附近，R 是增函數，也就是說，此時提高該價格能使總收入增加.15. 聽到由大眾媒介散布的某傳聞的人數 N，可通過下列關于時間 t （單位：d）的函數模型給出：假設總人口中有 200 000 人最終聽到了此傳聞，如果其中 10 % 的人在第一天聽到，求與，設以天為單位.解：由假設，總人口中有 200 000 人最終聽到了此傳聞，從而N=200 000.又N=a(1–e–kt)=a(顯然 k0，否則，N 是無窮大，與題設不符)得到 a=200 000.因為在 200 000 人中有 10 % 的人在第一天聽到，所以200 00010 %=200 000(1–e–k)解得 k=ln(10/9)≈ 36116. 通過心臟的血液流動分析導出了下列形式的函數：，由于絕對值函數在時不可導，因而可以說在時也不可導.(1) 通過在原點附近放大，考察在時的可導性.(2) 利用當時，得出當時不含絕對值符號的表達式，利用此表達式找出右側的斜率.(3) 利用時，找出左側的斜率.(4) 從(2)和(3)的答案，說明在處的可導性.解：(1) 將函數的圖形在原點放大(見下)，可以明顯的看到，在原點附近函數圖象是光滑的，這說明函數在時可導.(2) 當時，得出，于是右側的斜率是(3) 當時，得出，于是左側的斜率是(4) 由(2)和(3)可知，從而有即，這說明函數在處可導.17. 在時刻 T=0 開始放電的某電容器，其電荷量 Q 由下式給出： 其中 R、k 為由電路決定的正常數，電路中的電流 I 由給出：(1) 求時的電流 I，時的電流 I.(2) 時，定義 I 可能嗎？(3) 時函數 Q 可導嗎？解：(1) 時，電流時，電流(2) ∵又 k0∴，即時函數不可導，從而沒有定義.(3) 由(2)的討論，知道時函數不可導.18. 求下列函數的偏導數：(1) ；解： (2) ；解：由 y 與 x、z 與 x 的對稱性，可得(3) ；解：(4) ；解：19. 如果將美元存入銀行，年息，年后將擁有美元，其中 (1) 求，假定，都為常量，對于資金來講，意味著什么？ (2) 求，假定，都為常量，對于資金來講，意味著什么？解：(1) 當，都為常量，對于資金來講，表示 B 隨時間 t 的變化率，也就是 t 增加 1 個單位，B增加.(2) 當，都為常量，對于資金來講，表示 B 隨 r 的變化率，也就是 r 增加 1 個單位，B 增加. 20. 設某廠生產 x 個單位的產品 A 與 y 個單位的產品 B 的成本為C(x，y)=50x+100y+x2+xy+y2+10 000試求與，并解釋所得結果的經濟意義.解：∵ ∴=50+210+20=90，它表示此時再多生產 1 個單位的產品 A，總成本將增加90個單位. ∵ ∴=100+10+220=150，它表示此時再多生產1個單位的產品 B，總成本將增加150個單位.21. 例 31 中，討論函數在區間上的單調性，先求導、求駐點，可分出單調區間、. 在區分單調增加與單調減少區間時改用以下方法：分別在區間內各任取一 x 值，比如對應上述區間分別取，，求各點處的導數值可得如下結果：由上述導數值情況可以斷定，所討論函數在區間、上單調增加，在區間、上單調減少.試問，為什么可以這樣做？解：注意到在上述單調區間內部，導數的符號是確定的，要么為正，要么為負. 于是，我們可用該區間內某一點的導數值的符號，來確定該區間內導數的符號，然后就可以給出單調性的判別了.22. 求下列函數的增減區間：(1) ；解：函數的定義域是(–∞，+∞)令=0又 x3–3x+2=x(x–1)2+2x2–4x+2=x(x–1)2+2(x2–2x+1) =x(x–1)2+2(x–1)2=(x–1)2(x+2)可得方程的解為 x=–2，x=1. 于是，列表：x(–∞，–2)(–2，1)(1，+∞)–++y單調減少單調增加單調增加(2) ；解：函數的定義域是(0，+∞)令=0可得方程的解為 x=–(負根，舍去)，x=. 于是，列表：x(0，)(，+∞)–+y單調減少單調增加(3) y=2sinx+cos2x（0≤x≤2π）；解：函數的定義域是[0，2π]令=0又 cosx–sin2x=cosx–2sinxcosx=cosx(1–2sinx)可得方程在區間[0，2π]的解為x=π/6，π/2，5π/6，3π/2. 于是，列表：x[0，π/6](π/6，π/2)(π/2，5π/6)(5π/6，3π/2)(3π/2，2π)+–+–+y單調增加單調減少單調增加單調減少單調增加圖4–1623. 圖 4–16 為的圖形，它表示某種國家級保護動物在 t 時刻存在的總數量.(1) 確定在與時刻的導數、各自的正負符號；(2) 在與時刻，預想研究這種國家級保護動物的動物學家會分別做出什么結論？解：(1) 從的圖形可以看出，是一個增函數，從而可以斷定0、0；再注意到在附近，是凹函數，故有0；在附近，是凸函數，故有0；(2) 在時刻，動物學家會認為：在今后的一段時間內，動物總量增長速度將加快；在時刻，動物學家會認為：在今后的一段時間內，動物總量增長速度將逐漸慢下來.24. 在經濟學中，“總效用”指的是對消費某些商品總的滿意程度. 根據經濟學家薩繆爾遜(Samuelson)的觀點：當你消費更多的同類商品時，總（心理上的）效用就會增加. 但是隨著新的商品的不斷涌現，你的總效用會按照越來越慢的速度增長，這是由于一個根本傾向促成的，即你鑒賞更多的商品的心理能力變得更遲鈍.(1) 畫出隨著消費的商品數量不斷變化的總效用的函數圖像.(2) 就導數意義而言，薩繆爾遜告訴了我們什么？解：(1) 如圖，橫軸表示商品數量，縱軸表示總效用.(2) 設 f(x) 表示總效應函數，x 表示消費的商品數量. 由“消費更多的同類商品時，總效用會增加”，可知 f(x) 是增函數，故有0. 由“隨著新的商品的不斷涌現，總效用會按照越來越慢的速度增長”，可知 f(x) 是凸函數，故有0.25. 假設代表在時刻時某公司的股票價格，請根據下面的每一陳述判斷的一階和二階導數的符號為正還是為負.(1) “股票價格上升得越來越快”；(2) “股票價格接近最低點”.解：(1) “股票價格上升”說明是增函數，故有0；價格上升得“越來越快”說明是凹函數，故有0.(2) “股票價格接近最低點.”說明是減函數、凹函數，故有0、0.26. 設多項式函數恰有兩個局部極大值和一個局部極小值.(1) 畫出的一個可能的圖像.解：函數恰有兩個局部極大值和一個局部極小值，那么極小值點必然位于兩個極大值點中間，如圖：(2) 最多能有幾個零點？解：從圖中看出，x 軸與至多會有 4 個交點，于是最多能有 4 個零點(不相同的).(3) 至少能有幾個零點？解：由的特性可知，在定義域上的最大值只能在極大值點取得，那末當兩個極大值都小于 0 時，就沒有零點了.(4) 最多能有幾個拐點？解：多項式函數在定義域上是可導的，所以極值一定在駐點上取得，而有 3 個極值點，所以有 3 個不等實根. 若出現有重根，那么重數一定是奇數，否則，經過該點不會改變符號，從而不取得極值，與題設矛盾. 這樣，不妨令=A(x–a)m(x–b)n(x–c)k，其中系數A≠0，a、b、c互不相等，m、n、k是正奇數. 于是，=A[m(x–a)m–1(x–b)n(x–c)k+n(x–a)m(x–b)n–1(x–c)k+k(x–a)m(x–b)n(x–c)k–1] =A(x–a)m–1(x–b)n–1(x–c)k–1[m(x–b)(x–c)+n(x–a)(x–c)+k(x–a)(x–b)]很明顯，若a、b、c是的零點，那么它們也是偶次重根，從而經過它們時，不改變的符號，也就是說它們不是的拐點. 這樣，至多有兩個單根，即最多能有 2 個拐點.(5) 是奇次的還是偶次的，你是如何知道的？解：由(4)的討論可知，是奇次多項式，所以是偶次的.(6) 最少是幾次的？解：多項式函數在定義域上是可導的，所以極值一定在駐點上取得，而恰有兩個局部極大值和一個局部極小值，這說明有 3 個駐點，即至少是 3 次多項式，于是最少是 4 次的.(7) 求的一個可能表達式.解：例如 f(x)=–x4+2x2.27. 函數表示一個質量為 m 的物體在彈簧的底端的振動. 常量 k 體現了彈簧的“彈性”.(1) 找出在哪一時刻物體離平衡位置最遠？哪一時刻物體運動得最快？哪一時刻其加速度最大？(2) 振動的周期 T 是多少？(3) 求，從的正負符號中能獲取什么信息？解：(1) 當時，即或時(n 是整數)，物體離平衡位置最遠.物體運動速度是，于是，或時(n 是整數)，物體運動得最快.物體運動加速度是，于是，或時(n 是整數)，物體加速度最大.(2) 物體振動的周