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一元二次方程講義——絕對經典實用-資料下載頁

2026-04-07 12:24本頁面

　　

【正文】 . 解關于x的一元二次方程，得 .當時，由得.當時，由得（不合題意，舍去）.∴ . …………………………5分●培優訓練例1 設關于x的二次方程的兩根都是整數，求滿足條件的所有實數k的值。例2 、已知關于x的方程a2x2(3a28a)x＋2a213a＋15=0(其中a是非負整數)至少有一個整數根，求a的值．例3 、設m是不為零的整數，關于x的二次方程mx2(m1)x＋1＝0有有理根，求m的值例4 、關于x的方程ax2+2(a3)x+(a2)=0至少有一個整數解，且a是整數，求a的值．例5 、已知關于x的方程x2＋(a6)x＋a=0的兩根都是整數，求a的值．例6 、求所有有理數r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r1)=0的所有根是整數．例已知關于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；（2）當m為何整數時，原方程的根也是整數．解：(1)證明： Δ= = = =．∵ ≥0， ∴ ＞0．∴ 無論m取何實數時，原方程總有兩個不相等的實數根. …………2分（2）解關于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0，得 . ………………3分要使原方程的根是整數，必須使得是完全平方數.設，則.∵ +和的奇偶性相同，可得或解得或. ………………5分將m=－1代入，得符合題意. ………………6分 ∴ 當m=－1 時，原方程的根是整數. ……………7分例8知關于x的方程．（1）若方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍；（2）當方程有兩個相等的實數根時，求關于y的方程的整數根（為正整數）．解：（1）△=== ……………………………………………………………… 1分∵方程有兩個不相等的實數根，∴ 即 ∴的取值范圍是且． …………………………………… 3分（2）當方程有兩個相等的實數根時，△==．∴． ………………………………………………………………… 4分∴關于y的方程為．∴．由a為正整數，當是完全平方數時，方程才有可能有整數根．設（其中m為整數），（、均為整數），∴．即．不妨設兩式相加，得．∵與的奇偶性相同，∴32可分解為，，∴或或或．∴或或（不合題意，舍去）或．當時，方程的兩根為，即，．…… 5分當時，方程的兩根為，即，．…… 6分當時，方程的兩根為，即，． ………… 7分例9（011西城二模）閱讀下列材料：若關于x的一元二次方程的兩個實數根分別為x1，x2，則，．解決下列問題：已知：a，b，c均為非零實數，且a＞b＞c，關于x的一元二次方程有兩個實數根，其中一根為2．（1）填空： 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）利用閱讀材料中的結論直接寫出方程的另一個實數根（用含a，c的代數式表示）；（3）若實數m使代數式的值小于0，問：當x=時，代數式的值是否為正數？寫出你的結論并說明理由．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分（2）．……………………………………………………………………………4分（3）答：當x=時，代數式的值是正數．理由如下：設拋物線（a≠0），則由題意可知，它經過A，B 兩點．∵ a＞0，c＜0，∴ 拋物線開口向上，且＜0＜2，即點A在點B左側．…………………………………………………………………………5分設點M的坐標為，點N的坐標為．圖5 ∵ 代數式的值小于0，∴ 點M在拋物線上，且點M的縱坐標為負數．∴ 點M在x軸下方的拋物線上．（如圖5）∴ ，即．∴ ，即．以下判斷與的大小關系：∵ ＝0，a＞b，a＞0，∴ ．∴．∴ ．…………………………………………………………6分∵ B，N兩點都在拋物線的對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，∴，即y0.∴ 當x=時，代數式的值是正數． ………………………7分課后練習若xx2是方程的兩個實數根，則的值是____________．已知xx2是方程的兩根，那么的值是（）．A．1 B．5 C．7 D．已知關于x的一元二次方程．（1）當m為何值時，這個方程有兩個相等的實數根；（2）如果這個方程的兩個實數根xx2 滿足，求m的值．（2011延慶一模）已知：關于的一元二次方程（1）求證：方程有兩個實數根；（2）設，且方程的兩個實數根分別為（其中），若是關于的函數，且＝，求這個函數的解析式；（3）在（2）的條件下，利用函數圖象求關于的方程的解．已知關于的方程的兩根都是整數，求的值．（2010?中山）已知一元二次方程．（1）若方程有兩個實數根，求m的范圍；（2）若方程的兩個實數根為，且，求m的值．（2010?孝感）關于x的一元二次方程有兩實數根，（1）求p的取值范圍；（2）若，求的值．（2011海淀二模）已知關于x的方程，其中。（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；（2）設方程的兩個實數根分別為，其中，若，求y與m的函數關系式；（3）在（2）的條件下，請根據函數圖象，直接寫出使不等式成立的的取值范圍。初中數學 :..第 34 頁共 34 頁..:

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