概率論與數理統計教案-資料下載頁

　　

【正文】 X1)]2}c12=E{[X1E(X1)] [X2E(X2)]}c21=E{ [X2E(X2)] [X1E(X1)] }c22=E{[X2E(X2)]2}將它們排成矩陣的形式，這個矩陣稱為隨機變量(X1,X2)的協方差矩陣。設n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的二階混合中心矩cij=Cov(Xi,Xj)=E{[XiE(Xi)][XjE(Xj)]},i,j=1,2,…,n都存在，則稱矩陣為n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的協方差矩陣。由于cij=cji（i≠j；i,j=1,2,…,n），因而上述協方差矩陣是一個對稱矩陣。教學后記本次課的主要內容與目的在于讓學生了解和掌握協方差、矩與協方差矩陣的相關內容。學生對相關概念掌握較好，相關應用部分尚需多加練習。上課時間第十二周上課節次3節課 型理論課 題隨機變量的數字特征習題解析教學目的使學生鞏固隨機變量的數字特征所學內容教學方法講授重點、難點數學期望與方差時間分配教學內容板書或課件版面設計1. 某車間生產的圓盤直徑在區間(a,b)服從均勻分布，試求圓盤面積的數學期望。解：設圓盤直徑為X，按題設X具有概率密度故圓盤面積A=πX2/4的數學期望為：2. 設在某一規定的時間間隔里，某電氣設備用于最大負荷的時間X（以min計）是一個隨機變量，其概率密度為：求E(X)。解：按連續型隨機變量的數學期望定義有：，每一毫升白細胞數平均是7300，軍方差是700。利用切比雪夫不等式估計每毫升含白細胞數在5200~9400直接的概率p。解：以X表示每毫升含白細胞數，由題設E(X)=μ7300，而概率p=P{5200X9400} =P{2100X73002100} =P{|X7300|2100}在切比雪夫不等式P{|Xμ|ε}≥1σ2/ε2中，取ε=2100，此時：1σ2/ε2=17002/21002=8/9，即：p=P{|X7300|2100}≥8/9教學后記本次課的主要內容與目的在于讓學生鞏固所學隨機變量的數字特征的相關內容，通過本次課的學習，學生對隨機變量的數字特征的相關應用技巧有所提升。上課時間第十三周上課節次3節課 型理論課 題大數定律教學目的使學生了解并掌握大數定律相關知識教學方法講授重點、難點伯努利大數定理時間分配教學內容板書或課件版面設計弱大數定理（辛欽大數定理）：設X1,X2,…是相互獨立，服從同一分布的隨機變量序列，且具有數學期望E(Xk)=μ(k=1,2,…)。作前n個變量的算術平均，則對任意ε0，有。設Y1,Y2,…,Yn, …是一個隨機變量序列，a是一個常數。若對于任意正數ε，有，則稱序列Y1,Y2,…,Yn, …依概率收斂于a，記為。依概率收斂的序列有如下性質：設，又設函數g(x,y)在點(a,b)連續，則。因此，弱大數定理可定義為：設隨機變量X1,X2,…,Xn, …相互獨立，服從同一分布且具有數學期望E(Xk)=μ(k=1,2,…)，則序列依概率收斂于μ，即。伯努利大數定理：設fA是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則對于任意正數ε0有： 或 。教學后記本次課的主要內容與目的在于讓學生了解和掌握大數定律的相關內容。學生對相關概念掌握較好，相關應用部分尚需多加練習。上課時間第十四周上課節次3節課 型理論課 題中心極限定理教學目的使學生了解并掌握中心極限定理相關知識教學方法講授重點、難點獨立同分布中心極限定理與李雅普諾夫(Lyapunov)定理時間分配教學內容板書或課件版面設計定理一（獨立同分布的中心極限定理）：設隨機變量X1,X2,…,Xn, …相互獨立，服從同一分布，且具有數學期望和方差：E(Xk)=μ，D(Xk)=σ20(k=1,2,…)，則隨機變量之和的標準化變量的分布函數Fn(X)對于任意x滿足：定理二（李雅普諾夫(Lyapunov)定理）：設隨機變量X1,X2,…,Xn, …相互獨立，它們具有數學期望和方差：E(Xk)=，D(Xk)= 0，k=1,2,…，記。若存在正數δ ，使得當時，則隨機變量之和的標準化變量的分布函數Fn(x)對于任意x，滿足定理三（棣莫弗—拉普拉斯(De MoivreLaplace)定理）：設隨機變量ηn(n=1,2,…)服從參數為n，p(0p1)的二項式分布，則對于任意x有：。教學后記本次課的主要內容與目的在于讓學生了解和掌握中心極限定理的相關內容。學生對兩個定理內容掌握較好，相關應用部分尚需多加練習。上課時間第十五周上課節次3節課 型理論課 題大數定律及中心極限定理習題解析教學目的使學生鞏固大數定律及中心極限定理所學內容教學方法講授重點、難點數學期望與方差時間分配教學內容板書或課件版面設計，某種電器元件的壽命服從均值為100h的指數分布，現隨機取16只，設它們的壽命是相互獨立的。求這16只元件的壽命的綜合大于1920h 的概率。解：以Xi(i=1,2,…,16)記第i只元件的壽命，以T記16只元件壽命的總和：，按題設E(Xi)=100，D(Xi)=1002，由中心極限定理：近似服從N(0,1)分布，故所求概率為：，它們相互獨立，且服從相同的分布，，問5000各零件的總重量超過2510kg的概率是多少？解：以Xi(i=1,2,…,5000)記第i個零件的重量，以W記5000個零件的總重量：。按題設E(Xi)=，D(Xi)=，由中心極限定理：近似服從N(0,1)分布，故所求概率為：，第一階段所需時間（小時），且與第一階段獨立。現有20臺機器需要修理，求他在8小時內完成的概率。解：設修理第i(i=1,2,…,20)臺機器，第一階段耗時Xi，第二階段耗時Yi，共耗時Zi=Xi+Yi，已知E(Xi)=，E(Yi)=，故E(Zi)=+=。D(Zi)=D(Xi)+D(Yi)=+=。20臺機器需要修理的時間可以近似服從正態分布，即有：。故所求概率為：教學后記本次課的主要內容與目的在于讓學生鞏固所學大數定律及中心極限定理的相關內容，通過本次課的學習，學生對大數定律及中心極限定理特征的相關應用技巧有所提升。上課時間第十六周上課節次3節課 型理論課 題總復習教學目的使學生將本學期所學內容貫穿教學方法講授及答疑重點、難點各章節的重難點及相互之間的關系時間分配教學內容板書或課件版面設計、隨機事件（古典概型）、協方差矩陣教學后記本次課的主要內容與目的在于對所有內容進行串聯，綜述本門課程的所有章節的重難點。