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55二次曲線系的合成與分解-資料下載頁

2025-10-25 05:33本頁面

【導讀】我們把由圓錐曲線上的四點中的任意兩點的連線共六條直線及它們的七個交點所構成的圖形,叫做圓錐曲線上的完全。四邊形;圓錐曲線上的完全四邊形問題是高考的熱點問題,且是高考壓軸題的發源地,解決該類試題的絕妙方法是曲線系。法,它將涉及到由直線方程合成二次曲線系方程以及由二次曲線系方程分解為直線方程兩個方面.A、B、C、D的二次曲線系G:+λ=0;(Ⅱ)關于x,y的二次式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f可分解為?[母題解析]:(Ⅰ)設A,則:m1x0+n1y0+p1=0,ax02+cy02+dx0+ey0+f=0?ey+f)=y2+2y+為y的完全平方式?交AB于P,Q,則M為PQ的中點.由圓和直線CD、EF合成的二次曲線系G:x2+(y-a)2-r2+λ=0,當二。次曲線系G分解為直線CF與DE的方程之積時,令y=0得:x2+a2-r2=0,即點P和點Q的橫坐標滿足二次方程x2+. 子題類型Ⅱ:橢圓有兩頂點A、B(1,0),過其焦點F(0,1). 的直線l與橢圓交與C、D兩點,并與x軸交于點AC與直線BD交于點Q.(Ⅱ)當點P異于A、B兩點時,求證:OQOP?式的綜合除法,并根據余式為0,得到相關條件,并求出另一條直線方程.錐曲線在點A處的切線與直線BC構成一對“直線對”.

　　

【正文】 . 5 解 :(Ⅰ )b=1,由221 ab?=23 ?a=2? 橢圓42x+y2=1? 右焦點 F(3 ,0)? 直線 CF:y=33x+1,與橢圓的方程聯立 ,并消去 y 得 :7x28 3 x=0? xD=738 ?|CD|=716。 (Ⅱ )設 Q(m,n),則直線 QA:nx(m2)y2n=0,由直線 QA過點 C(0,1)? m=2(1n)? 直線 QA:x+2y2=0,Q(2(1n),n)? 直線QB:nx2(2n)y+2n=0。因過直線 QA、 QB 與橢圓的交點的曲線系為 :x2+4y24+λ (x+2y2)[nx2(2n)y+2n]=0? (1+λ n)x2+ 4λ (n1)xy+4[1λ (2n)]y2+8λ y4(1+λ n)=0,該曲線系退化為直線 AB:y=0與直線 CD的方程 ? 1+λ n=0? λ =n1 ?曲線系 :y[4nn1?x+n8yn8]=0? 直線 CD:4nn1?x+n8yn8=0,令 y=0? x=12?n ?P(12?n,0)? OQOP? =12?nm=4. :設 P(x0,y0),直線 AD:yk1xk1=0,直線 BE:yk2x+k2=0,過 A,B,E,D四點的曲線系 :x2y21+λ(yk1xk1)(yk2x+k2)=0? (1+λ k1k2)x2+(λ 1)y2λ (k1+k2)xyλ (k1k2)yλ k1k21=0,該曲線變為直線 AB與 CD? 1+λk1k2=0? 直線 CD:(λ 1)yλ (k1+ k2)xλ (k1k2)=0,由直線 CD過點 C(2,0)? 3k1+k2=0,??? ?? ?? )1( )1(21 xky xky? x=21 . :(Ⅰ )設動圓圓心 O1(x,y),則 |O1A|=|O1M|? |O1A|2=|O1M|2? (x4)2+y2=x2+16? y2=8x? 軌跡 C:y2=8x。 (Ⅱ )設直線 BP:kxy+k=0與拋物線交于另一點 A,則直線 BQ:kx+y+k=0 與拋物線交于另一點 C,過 A,C,P,Q 四點的曲線系 :y28x+λ (kxy+k)(kx+y+k)=0? λ k2x2+ (2λ k28)x+(1λ )y2+λ k2=0,該曲線變為直線 AC與 PQ 時 ,由 (λ 1)y2=λ k2x2+(2λ k2 8)x+λ k2? λ k2x2+(2λ k28)x+λ k2必是完全平方式 ? (2λ k28)24λ 2k4=0? λ k2=2? (λ 1)y2=2(x1)2? 直線 AC與 PQ 都過定點 (1,0). :(Ⅰ )設橢圓 C:22ax+22by=1(ab0),由題知 c=1,ab2=23 ?a=4,b2=3? 橢圓 C:42x+32y=1。 (Ⅱ )由橢圓 C在點 A處的切線 :x+2y4=0,設直線 EF:x+ty+m=0,則過 A、 E、 F三點的曲線系 :3x2+4y212+λ (x+2y4)(x+ty+m) =0? (3+λ )x2+λ (2+t)xy+(4+2tλ )y2+λ (m4)x+λ (2m4t)y124λ m=0,該曲線系為 Δ AEF 的外接圓 ? λ (2+t)=0,且 3 +λ =4+2tλ ? t=2,λ =51 ?直線 EF:x2y+m=0? 直線 EF 的斜率 k=21為定值 .

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