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理論力學第三版(周衍柏)習題答案-資料下載頁

2026-06-13 22:42本頁面

　　

【正文】：化簡得②設因在約束條件下任意，欲使上式成立，須有：由此得自由度，質點位置為。由①由已知得故②約束方程③聯立②③可求得或又由于故或按題意僅重力作用，為保守系。因為已知，在球面坐標系中，質點的動能：由于所以又由于故取Ox為零勢，體系勢能為：故力學體系的拉氏函數為： .平面運動，一個自由度.選廣義坐標為，廣義速度因未定體系受力類型，由一般形式的拉格朗日方程①在廣義力代入①得：②在極坐標系下：③故將以上各式代入②式得又由于所以①取坐標原點為零勢面 ②拉氏函數③代入保守系拉格朗日方程得代入保守系拉格朗日方程得：.(1)由于細管以勻角速轉動，因此=可以認為質點的自由度為1.(2)取廣義坐標.(3)根據極坐標系中的動能取初始水平面為零勢能面，勢能:拉氏函數①(4)，代入拉氏方程得：(5)先求齊次方程的解.②特解為故①式的通解為③在時： ④⑤聯立④⑤得將代回式③可得方程的解為： .（1）按題意為保守力系，質點被約束在圓錐面內運動，故自有度數為2.（2）選廣義坐標，.（3）在柱坐標系中：以面為零勢能面，則：拉氏函數①（4）因為不顯含，所以為循環坐標，即常數②對另一廣義坐標代入保守系拉氏方程③有得④所以此質點的運動微分方程為（為常數）所以.（1）體系自由度數為2.（2）選廣義坐標（3）質點的速度劈的速度故體系動能以面為零勢面，體系勢能：其中為劈勢能.拉氏函數①（4）代入拉格郎日方程得：②代入拉格郎日方程得③聯立②，③得解（1）本系統內雖有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有約束的平面平行運動，自由度（2）選取廣義坐標（3）根據剛體力學其中繞質心轉動慣量選為零勢面，體系勢能：其中C為常數.拉氏函數(4)代入保守系拉氏方程得：對于物體，有 . （1）棒作平面運動，一個約束，故自由度.（2）選廣義坐標（3）力學體系的動能根據運動合成又故設為繞質心的回轉半徑，代入①得動能②（4）由③（其中）則④因為、在約束條件下任意且獨立，要使上式成立，必須：⑤（5）代入一般形式的拉氏方程得：⑥又代入一般形式的拉氏方程得：⑦⑥、⑦兩式為運動微分方程（6）若擺動角很小，則，代入式得：，代入⑥⑦式得：⑧又故代入⑧式得：（因為角很小，故可略去項） (1)由于曲柄長度固定，自由度.(2)選廣義坐標，受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程：①(3)系統動能②（4）由定義式③（5）代入①得：得 . （1）因體系作平面平行運動，一個約束方程：(2)體系自由度，但不做功，為保守體系（3）體系動能：輪平動動能輪質心轉動動能輪質心動能輪繞質心轉動動能.①以地面為零勢面，體系勢能則保守系的拉氏函數②(1)因為不顯含，得知為循環坐標.故=常數③開始時：則代入得又時，所以（1）本系統作平面平行運動，干限制在球殼內運動，自由度；選廣義坐標，體系摩擦力不做功，為保守力系，故可用保守系拉氏方程證明①（2）體系動能=球殼質心動能+球殼轉動動能+桿質心動能+桿繞中心轉動動能②其中代入②得以地面為零勢面，則勢能：（其中為常數）(3)因為是循環坐標，故常熟③而代入①式得④聯立③、④可得（先由③式兩邊求導，再與④式聯立）⑤⑤試乘并積分得：又由于當 .（1）由已知條件可得系統自由度.（2）取廣義坐標.（3）根據剛體力學，體系動能：①又將以上各式代入①式得：設原點為零勢能點，所以體系勢能體系的拉氏函數②(1)因為體系只有重力勢能做工，因而為保守系，故可采用③代入③式得即（5）解方程得（1）由題設知系統動能①取軸為勢能零點，系統勢能拉氏函數 ②（2）體系只有重力做功，為保守系，故可采用保守系拉氏方程.代入拉氏方程得：又代入上式得即③同理又代入上式得④令代入③④式得：欲使有非零解，則須有解得周期（1）系統自由度（2）取廣義坐標廣義速度（3）因為是微震動，體系動能：以為勢能零點，體系勢能拉氏函數（4）即①同理②同理③設代入①②③式得欲使有非零解，必須解之又故可得周期（1）體系自由度（2）取廣義坐標廣義速度（3）體系動能體系勢能體系的拉氏函數（4）體系中只有彈力做功，體系為保守系，可用①將以上各式代入①式得： ②先求齊次方程③設代入③式得要使有非零，必須即又故通解為：其中又存在特解有②③式可得式中及為積分常數。：以速度我廣義速度，根據定義①根據公式（）又有①得取在轉動坐標系的速度為廣義速度，則在固定坐標系中的速度：，自由質點的動能，設質點勢能為，則質點的拉氏函數根據定義：在轉動坐標系中：上式中為質點的位矢，為質點相對于固定坐標系的速度。：取在廣義坐標根據教材（）和（）式得動能：勢能：根據定義式故因為故得為第二個第一積分.同理即得為第三個第一積分., ①根據定義②得③根據哈密頓函數的定義代入③式后可求得:④由正則方程得:⑤⑥代入⑤得整理得 , ⑴小球的位置可由確定,故自由度⑵選廣義坐標,廣義速度.⑶小球動能又由①式得設小球勢能為V,取固定圓球中心O為零勢點,則小球拉氏函數=①根據定義有根據正則方程④⑤對式兩邊求時間導得：故小球球心切向加速度167。：①根據泊松括號的定義：②所以同理可知：, 由②得：同理可得：, 因為故同理可求得：即因為又因為所以 (1)小環的位置可以由角唯一確定，因此體系的自由度，取廣義坐標，廣義速度。小球的動能：以為勢能零點，則小環勢能所以拉氏函數（2）由哈密頓原理故所以又由于所以因為是任意的，所以有被積式為0，即化簡得，設，體系的拉氏函數①根據哈密頓原理故 ②因為所以又因為③因為是任意的，所以有，復擺位置可由角度唯一確定，自由度，取廣義坐標，設為復擺重心與懸點之間的距離。復擺的動能：取為勢能零點，則勢能：復擺的拉氏量：①由哈密頓原：故又因為 ②因為的任意性所以有：根據已知很小，③可求得：其中為初相位。周期，體系拉氏函數①根據哈密頓原理：故 ②因為代入②式得：所以 ③又因為，且和的任意性所以所以運動微分方程為：常數因為母函數不是的顯函數，為正則變換。為母函數，故為正則變換。又且當，變為時證：由①又故②由于代入②式得得所以存在母函書使：因此，這種變換是正則變換.解:由于故①②由②得又有又③④又故⑤當時,由③式得:即當時, 163

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