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圓的知識點總結及典型例題-資料下載頁

2026-06-13 23:13本頁面

　　

【正文】 CD＝180176。，則也可得證。證明一：（用同位角證）連結AB ∵四邊形EBAC內接于⊙O1，∴∠BAD＝∠E 又∵∠BFD＝∠BAD，∴∠BFD＝∠E ∴CE∥FD 證明二：（用同旁內角證）連結AB ∵四邊形EBAC內接于⊙O1， ∴∠C＋∠B＝180176。，又∵∠B＝∠D， ∴∠C＋∠D＝180176。，∴EC∥FD 小結：兩圓相交時，常添的輔助線是作兩圓的公共弦。（四）正多邊形和圓［知識歸納］1. 基本概念正多邊形、正多邊形的中心、正多邊形的半徑、正多邊形的邊心距、正多邊形的中心角以及平面鑲嵌等。2. 正多邊形的判定與性質（1）把圓分成等份：依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形。（2）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓。3. 正多邊形的有關計算正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形。如圖16所示，設正n邊形的中心角為，半徑為R，邊長為，邊心距為rn，周長為Pn，面積為Sn，則由有關圖形的性質可以推得：圖16 （1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）； 4. 與圓有關的計算（1）圓的周長；（2）弧長；（3）圓的面積；（4）扇形面積；（5）弓形面積（如圖16） 5. 與圓有關的作圖（1）過不在同一條直線上的三點作圓；（2）作三角形的內切圓；（3）等分圓周（三、六、十二、四、八、五等分），作正三角形、正四邊形、正六邊形。6. 圓柱和圓錐的側面展開圖（1）圓柱的側面積：（r：底面半徑，h：圓柱高）（2）圓錐的側面積：（L＝2πR，R是圓錐母線長，r是底面半徑）。（n為側面展開圖扇形的圓心角的度數，R為母線長）。［例題分析］例14. 已知：如圖17，在兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點C，AB的長為12cm，求兩個圓所圍成的環形面積。圖17 解：連結OC、OB 設大圓半徑OB＝R，小圓半徑OC＝r ∵AB與小圓相切于點C，∴OC⊥AB，且AC＝BC ∵AB＝12，∴BC＝6 ∴ ∵。 ∴ 例15. 在正五邊形ABCDE中，AC、BE相交于F，若AB＝a，求BF的長。略解：如圖18，作正五邊形的外接圓圖18 ∵五邊形ABCDE是正五邊形 ∴AB＝BC＝AE，∠ABC＝108176。 ∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABF＝36176。，∠CBF＝∠CFB＝72176。 BF＝AF，BC＝CF 又∵∠BAC是公共角 ∴△AFB∽△ABC，∴ 又∵AB＝a，∴，解得 ∴ 例19. 已知：如圖19，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B為圓心，BC為半徑作圓弧交AD于F，交BA的延長線于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面積。圖19 分析：如何用所學過的基本圖形的面積去表示所求圖形的面積？解：∵AB＝1，BC＝2，F點在以B為圓心，BC為半徑的圓上，∴BF＝2 ∴在Rt△ABF中，∠AFB＝30176。，∠ABF＝60176。 ∴ ∴例16. 已知，如圖20，花園邊墻上有一寬為1m的矩形門ABCD，量得門框對角線AC的長為2m。現準備打掉部分墻體，使其變為以AC為直徑的圓弧形門，問要打掉墻體的面積是多少？（）圖20解：設矩形ABCD外接圓的圓心為O，連結BC、BO，如圖20－1，則⊙O的半徑為圖20－1 ∵BO＝CO＝BC＝1，∴∠BOC＝60176。所以打掉的墻體面積為：答：。例17. 已知：如圖21，在一個長18cm，寬12cm的矩形ABCD內，有一個扇形，扇形的圓心O在AB上，以OB為半徑作弧與CD相切于E，與AD相交于F，若將扇形剪下，圍成一個圓錐，求圓錐底面積（接縫不計）。圖21 解：連結OE ∵CD切于E點，∴∠CEO＝90176。，OE＝OB ∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠B＝90176。 ∴四邊形EOBC是正方形 ∴OF＝OB＝BC＝12cm ∴ 在Rt△AFO中， ∴∠AOF＝60176。，∠FOB＝120176。 ∴的弧長設圓錐底面半徑為r，則 ∴圓錐底面面積為。 18

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