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2026-07-17 14:27本頁面

　　

【正文】 1恒成立．即h(x)＝(x＋1)[1＋ln(x＋1)]x＞k對x＞0恒成立．即h(x)(x＞0)的最小值大于k.由h′(x)＝x－1－ln(x＋1)x2，記Φ(x)＝x－1－ln(x＋1)．(x＞0)則Φ′(x)＝xx＋1＞0，∴Φ(x)在(0，＋∞)上連續(xù)遞增．又Φ(2)＝1－ln3＜0，Φ(3)＝2－2ln2＞0，∴Φ(x)＝0存在惟一實根a，且滿足：a∈(2,3)，a＝1＋ln(a＋1)，由x＞a時，Φ(x)＞0，h′(x)＞0；0＜x＜a時，Φ(x)＜0，h′(x)＜0知：h(x)(x＞0)的最小值為h(a)＝(a＋1)[1＋ln(a＋1)]a＝a＋1∈(3,4)．因此正整數(shù)k的最大值為3.21解析：(1)當a＝0時，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為3e.(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2.由a≠23知，－2a≠a－2.以下分兩種情況討論．①若a＞23，則－2a＜a－2，當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x(－∞－2a)，－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x) 極大值 極小值所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(－2a，a－2)內(nèi)是減函數(shù)．函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.②若a＜23，則－2a＞a－，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x) 極大值 極小值 所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(a－2，－2a)內(nèi)是減函數(shù)．函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.22解析：(1)因為函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，導函數(shù)f′(x)＝1－(lnx＋a)x2，∴k＝f′(1)＝1－a，又f(1)＝a－1，即切點坐標為(1，a－1)，所以，函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為：y－(a－1)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋2(a－1)．(2)結(jié)合(1)，令f′(x)＝0得x＝e1－a，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知：當x∈(0，e1－a)時，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù)；當x∈(e1－a，＋∞)時，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù)．(ⅰ)當e1－a＜e2時，a＞－1時，f(x)max＝f(e1－a)＝ea－1－1，令ea－1－1≤0，解得a≤1，即－1＜a≤1，(ⅱ)當e1－a≥e2即a≤－1時，f(x)在(0，e2]上是增函數(shù)，∴f(x)在(0，e2]上的最大值為f(e2)＝2＋ae2－1，令2＋ae2－1≤0，解得a≤e2－2，即a≤－1，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是a≤1.

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