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高一數學生活中的優化問題舉例-資料下載頁

2025-11-01 08:32本頁面

【導讀】潤最大，效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題.不少問題可以運用導數這一有力工具加以解決.求y=f在[a，b]內的極值；將函數的各極值與端點處的函數值f、f比較，特別地，如果函數在給定區間內只有一個極值點，則這個極值一定是最值。對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？對制造商而言，哪一種的利潤更大？最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？∵當r∈(0，2)時，模型，再通過研究相應函數的性質，提出優化方案，是不是汽車的速度越快，汽油的消耗量越大?車速慢的時候省油呢？汽油的使用效率越高。g、v有什么關系？乙地要耗油為升;若已知甲、乙兩地相距100千米。

　　

【正文】品呢？ ∴ 函數在 (0， 1000)上是減函數 800xy??當時，取最小值故每天應生產 800件產品變題 2：若產品以每件 500元售出，要使得利潤最大，每天應生產多少件產品？練習：已知某廠每天生產 x件產品的成本為 22 5 0 0 0 2 0 0 ( )40xcx? ? ? 元[ 注 ] 對于型如 )0( ??? abxbaxy 的函數最值問題，要根據定義域選擇恰當的方法，并熟練掌握這些方法的要點。基本不等式法： “一正、二定、三相等、四最值”；導數法：一定義域、二導數符號、三單調性、四最值”。小結：在日常生活中，我們經常會遇到求在什么條件下可使用料最省，利潤最大，效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題 . 在解決優化問題的過程中，關鍵在于建立數學模型和目標函數；要認真審題，盡量克服文字多、背景生疏、意義晦澀等問題，準確把握數量關系。在計算過程中要注意各種數學方法的靈活運用 ,特別是導數的運用。 ? (1)審題：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，找出問題的主要關系； ? (2)建模：將文字語言轉化成數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型； ? (3)解模：把數學問題化歸為常規問題，選擇合適的數學方法求解； ? (4)對結果進行驗證評估，定性定量分析，做出正確的判斷，確定其答案． ? 注意：實際應用中，準確地列出函數解析式并確定函數定義域是關鍵． ? [例 ] 在邊長為 60cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？ ? [解析 ] 設箱高為 xcm，則箱底邊長為 (60－ 2x)cm，則得箱子容積 V是 x的函數， ? V(x)＝ (60－ 2x)2x(0x30) ? ＝ 4x3－ 240x2＋ 3600x. ? ∴ V′(x)＝ 12x2－ 480x＋ 3600， ? 令 V′(x)＝ 0，得 x＝ 10，或 x＝ 30(舍去 ) ? 當 0x10時， V′ (x)0， ? 當 10x30時， V′ (x)0. ? ∴ 當 x＝ 10時， V(x)取極大值，這個極大值就是 V(x)的最大值 V(10)＝ 16000(cm3) ? 答：當箱子的高為 10cm，底面邊長為40cm時，箱子的體積最大，最大容積為16000cm3. ? [點評 ] 在解決實際應用問題中，如果函數在區間內只有一個極值點，那么只需根據實際意義判定是最大值還是最小值．不必再與端點的函數值進行比較．

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