微積分的產(chǎn)生-資料下載頁(yè)

　　

【正文】 世紀(jì)出現(xiàn)的大部分應(yīng)用問(wèn)題中 ， 積分都能被明確地求出來(lái) ， 因而也就不會(huì)發(fā)生積分存在與否的問(wèn)題 。 在十八世紀(jì)初期 ， 就已經(jīng)出現(xiàn)了兩個(gè)和三個(gè)變量的函數(shù)的微積分 （ 多元函數(shù)的微積分 ） 。 通常的導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別在一開(kāi)始并未被人們明確地認(rèn)識(shí) ， 因而對(duì)兩者使用相同的記號(hào) 。 而物理意義又要求人們?cè)诙鄠€(gè)自變量的函數(shù)中 ， 考慮只有一個(gè)自變量變化的導(dǎo)數(shù) 。 兩個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)研究的主要?jiǎng)恿?lái)自偏微分方程方面的工作 。 偏導(dǎo)數(shù)的演算是由歐拉研究流體力學(xué)問(wèn)題的一系列文章提供的 。 達(dá)朗貝爾在 1744年前后 ， 推廣了偏導(dǎo)數(shù)的演算 。 在十八世紀(jì) ， 雖然數(shù)學(xué)家們致力于在微積分中注入嚴(yán)密性 ， 但由于時(shí)代的局限性 ， 這項(xiàng)工作顯得十分混亂 。 其中比較有代表性的思想是達(dá)朗貝爾的工作 。他在一篇論文中說(shuō)道： “ 極限 ， 極限論是微積分的真正抽象 …… ， 它決不是微分學(xué)中的無(wú)窮小量的一個(gè)問(wèn)題：它獨(dú)特地是有限量的極限問(wèn)題 。 這樣 ， 無(wú)窮大量和無(wú)窮小量相互間較大 ， 較小的空談 ， 對(duì)微分學(xué)來(lái)說(shuō)是全然無(wú)用的 。 ” 無(wú)窮小量?jī)H僅是一種說(shuō)法 ， 用以避免冗長(zhǎng)的極限術(shù)語(yǔ)的描述 。 事實(shí)上 ， 達(dá)朗貝爾給出了極限正確定義的一個(gè)極好的近似：一個(gè)變量趨近一個(gè)固定量 ， 趨近的程度小于任何給定量 。 可惜他沒(méi)有能結(jié)合并利用他的基本準(zhǔn)正確思想作出微積分形式的闡述 。 告誡學(xué)習(xí)微積分的學(xué)生們： 堅(jiān)持 , 你就會(huì)有信心 . 達(dá)朗貝爾 評(píng)語(yǔ) 盡管幾乎十八世紀(jì)的每位數(shù)學(xué)家都在微積分的邏輯上做了努力 ， 或至少表示了他們的看法 ， 其中也有一 、 兩個(gè)走對(duì)了路的 ， 但他們所有的努力都是沒(méi)有多大用處的 。 任何棘手的問(wèn)題都被有意避開(kāi)或是漠然視之 ， 人們很難區(qū)別很大的數(shù)與無(wú)窮數(shù) ， 數(shù)學(xué)家們?cè)谟邢夼c無(wú)限之間隨意通行 。 微積分被稱(chēng)為“ 計(jì)算與度量一個(gè)其存在性是不可思議的事物的藝術(shù) ” 。 尤其是歐拉 、 拉格朗日這樣的大師對(duì)微積分微積分嚴(yán)格化的努力的最終結(jié)果 ， 是誤導(dǎo)了他們的同代人以及后來(lái)者 ， 并且搞亂了他們的思想 。 總的來(lái)說(shuō) ， 他們那么明目張膽地犯錯(cuò)誤 ， 以致于人們對(duì)數(shù)學(xué)家能否能清楚他們涉及到的邏輯感到絕望 。 十八世紀(jì)的思想家們所采取的論據(jù)的一個(gè)奇怪地特點(diǎn)是他們求助于 “ 形而上學(xué) ” ， 用它來(lái)暗示數(shù)學(xué)領(lǐng)域之外還存在一個(gè)真理體系 ， 雖然這個(gè)真理體系究竟是什么還不清楚 ， 但如果需要的話(huà) ， 可以用它來(lái)檢驗(yàn)人們所做的工作 。 萊布尼茨 、 歐拉等數(shù)學(xué)家都曾借助于形而上學(xué)得出過(guò)錯(cuò)誤的結(jié)論 。 例如 ，萊布尼茨曾證明過(guò)級(jí)數(shù) 的和為 1/2, 實(shí)際上 ， 該級(jí)數(shù)無(wú)和 。 ????? 1111 一般說(shuō)來(lái) ， 當(dāng)十七 、 十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們不能為一個(gè)觀點(diǎn)提供更好的證明時(shí) ， 他們就慣于說(shuō)這其中的理由是形而上學(xué)的 。 因此 ， 在十八世紀(jì)結(jié)束之際 ， 微積分和建立在微積分基礎(chǔ)上的分析的其它分支的邏輯處于一種完全混亂的狀態(tài)之中 。 可以說(shuō) ，1800年微積分基礎(chǔ)方面的狀況比 1700年的更差 。 數(shù)學(xué)巨匠 ， 尤其是歐拉和拉格朗日給出了不正確的邏輯基礎(chǔ) 。 因?yàn)樗麄兪菣?quán)威 ， 他們的許多同事接受了并不加批判地重復(fù)這些觀點(diǎn) ， 甚至將它們進(jìn)一步發(fā)展 。 他們被引上了一條錯(cuò)誤的路 。 十九世紀(jì)的微積分 噢，上帝，為什么二加二等于四？ —— 亞歷山大 蒲柏 歷史進(jìn)入十九世紀(jì) ， 數(shù)學(xué)陷入更加自相矛盾的處境 。 雖然它在描述和預(yù)測(cè)物理現(xiàn)象方面所取得的成功遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)人們的預(yù)料 ， 但是 ， 正如十八世紀(jì)的人所指出的那樣 ， 大量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)沒(méi)有邏輯基礎(chǔ) ， 因此不能保證數(shù)學(xué)是正確無(wú)誤的 。 盡管這種自相矛盾的情況一直存在于十九世紀(jì)上半葉 ， 但并不影響許多數(shù)學(xué)家在開(kāi)始研究的自然科學(xué)的一些新領(lǐng)域中成績(jī)斐然 。 十九世紀(jì)的微積分 分析 （ 微積分 ） 中的錯(cuò)誤在十九世紀(jì)繼續(xù)發(fā)展 ， 這方面的例子不勝枚舉 。 我們舉一個(gè)例子：直觀上連續(xù)函數(shù)可以用一條不間斷的 （ 連續(xù) ） 曲線來(lái)表示 ， 而函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線上點(diǎn) P 處的切線的斜率 。 十九世紀(jì)早期的數(shù)學(xué)家們都致力于盡可能地運(yùn)用邏輯方法證明 “ 一個(gè)連續(xù)函數(shù)中任何一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)存在 。 ” 實(shí)際上 ， 這就是要證明 “ 一條連續(xù)曲線上 ， 任何一點(diǎn)處的切線均存在 。 ” 只要看下面的圖形 ， 就可以知道要證明的東西是錯(cuò)誤的 。 此處無(wú)切線 這樣的嚴(yán)重錯(cuò)誤在今天對(duì)一個(gè)大學(xué)生來(lái)說(shuō)也是不可原諒的 ， 然而犯錯(cuò)誤的卻是當(dāng)時(shí)的偉人 —— 傅立葉 、 柯西 、 伽羅瓦 、 勒讓德 、 高斯 ， 還有其他一些名聲稍遜 ， 但也成就斐然的數(shù)學(xué)家 。 1 1 19世紀(jì)，邏輯問(wèn)題一直困擾著數(shù)學(xué)家。 傅立葉 高斯 從 1605年至今 ， 數(shù)學(xué)分析一直是人們研究的主要對(duì)象 ， 連續(xù)性和可微性是分析的基本概念 ， 而數(shù)學(xué)家們對(duì)這些基本概念竟然如此模糊不清 ， 對(duì)此你就不能不感到震驚 。 1 1 19世紀(jì)，邏輯問(wèn)題一直困擾著數(shù)學(xué)家。 1890—— 1894年就讀于劍橋三一學(xué)院的羅素在他的著作 《 我的哲學(xué)發(fā)展 》 中就曾寫(xiě)道： “ 那些教我無(wú)窮小分析的老師找不出有說(shuō)服力的論據(jù)來(lái)證明微積分的基本概念 ， 就只好說(shuō)服我充滿(mǎn)信心地去接受那些公認(rèn)的詭辯 。 ” 1 1 19世紀(jì)，邏輯問(wèn)題一直困擾著數(shù)學(xué)家。 如果認(rèn)為只有在幾何證明里或者在感覺(jué)的證據(jù)里才有必然 ， 那會(huì)是一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤 。 —— 柯西 波爾查諾 、 柯西 、 魏爾斯特拉斯和其它一些人的工作給分析提供了嚴(yán)密性 。 這些工作將微積分及其推廣從幾何概念 、 運(yùn)動(dòng)和直覺(jué)了解的完全依賴(lài)中解放出來(lái) 。 這些研究一開(kāi)始就造成了巨大轟動(dòng) 。 在一次科學(xué)會(huì)議上 ， 柯西提出了級(jí)數(shù)收斂性理論 ， 會(huì)后拉普拉斯急忙趕回家并隱居起來(lái) ， 直到查完他的《 天體力學(xué) 》 中所用到的級(jí)數(shù)為止 （ 幸虧他用到的級(jí)數(shù)都是收斂的 ） 。 當(dāng)魏爾斯特拉斯的工作通過(guò)演講為人們所知時(shí) ， 其影響更為顯著 。 但是 ， 分析的嚴(yán)密化并不證明就是基礎(chǔ)研究的終結(jié) ， 恰恰相反 ，它是新的 ， 更深入的問(wèn)題研究的開(kāi)始 。 例如 ， 實(shí)數(shù)系的邏輯基礎(chǔ)是什么 ？ …… 。