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新人教a版高中數學選修2-223數學歸納法同步測試題-資料下載頁

2025-11-06 21:17本頁面

【導讀】，，，驗證結論是否正確，得到此結論成立的條。N且3n≥Ｃ．n為正奇數Ｄ．n為正偶數。3．在ABC△中，sinsincoscosACAC?，則ABC△一定是（）。4．在等差數列??··，類經上述性質，在等比。，，則4578bbbb，，，的一個不等關系是（）?！?，用反證法證明時，可假設2pq?的兩根的絕對值都小于1．用反證。7．如圖，在梯形ABCD中，()ABDCABaCDbab???．試用類比的方法，推想出下述問題的結果．在上面。的梯形ABCD中，延長梯形兩腰ADBC，相交于O點，設OAB△，9．用反證法證明命題：若整系數一元二次方程20axbxca????有有理根，那么abc，，10．用數學歸納法證明()213nnnnnn?????，下面正確的運算公式是（）。Ａ．22020Ｂ．22020Ｃ．20202020?13．寫出用三段論證明3()sin()fxxxx???的函數是奇函數，大前提。面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內的射影?！鳌鳌?amp;#183;是一個真命題．。在圖中，連結DM，并延長交BC于E，連結AE，則有DEBC?18．如圖，已知PA?矩形ABCD所在平面，MN，分別是ABPC，的中點．

　　

【正文】由上述矛盾可知， a 一定是偶數． 18．已知命題：“若數列 ??na 是等比數列，且 0na? ，則數列 12 ()nnnb a a a n ???N也是等比數列”．類比這一性質，你能得到關于等差數列的一個什么性質？并證明你的結論．解：類比等比數列的性質，可以得到等差數列的一個性質是：若數列 ??na 是等差數列，則數列 12 nn a a ab n? ? ??也是等差數列．證明如下：設等差數列 ??na 的公差為 d ，則 12 nn a a ab n? ? ??11( 1 )2( 1 )2n n dna dann??? ? ? ?，所以數列 ??nb 是以 1a 為首項， 2d 為公差的等差數列 19．已知 abc?? ，且 0abc? ? ? ，求證： 2 3b aca? ?．證明：因為 abc?? ，且 0abc? ? ? 所以 0a? ， 0c? ，要證明原不等式成立，只需證明 2 3b ac a?? r，即證 223b ac a?? ，從而只需證明 22( ) 3a c ac a? ? ? ，即 ( )(2 ) 0a c a c? ? ?，因為 0ac?? ， 20a c a c a a b? ? ? ? ? ? ?，所以 ( )(2 ) 0a c a c? ? ?成立，故原不等式成立． 20．用三段論方法證明： 2 2 2 2 2 2 2 ( )a b b c c a a b c? ? ? ? ? ? ?≥．證明：因為 222a b ab? ≥ ，所以 2 2 2 22 ( ) 2a b a b ab? ? ?≥ （此處省略了大前提），所以 22 22 ()a b a b a b? ? ?≥ ≥（兩次省略了大前提，小前提），同理， 22 2 ()2b c b c??≥， 22 2 ()2a c a? ? ?，三式相加得 2 2 2 2 2 2 2 ( )a b b c c a a b c? ? ? ? ? ? ?≥．（省略了大前提，小前提） 21．由下列不等式： 112?， 1123? ? ?， 1 1 1 312 3 7 2? ? ? ? ?， 1 1 1122 3 15? ? ? ? ?，，你能得到一個怎樣的一般不等式？并加以證明．解：根據給出的幾個不等式可以猜想第 n 個不等式，即一般不等式為： 1 1 11 ( )2 3 2 1 2n n n ?? ? ? ? ? ?? N．用數學歸納法證明如下：（ 1）當 1n? 時， 112? ，猜想成立；（ 2）假設當 nk? 時，猜想成立，即 1 1 11 2 3 2 1 2k k? ? ? ? ??，則當 1nk??時， 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 2 11 2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2kk k k k k k k kk k k? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?，即當 1nk??時，猜想也正確，所以對任意的 n ??N ，不等式成立． 22．是否存在常數 a b c，，，使得等式 2 2 2 2 2 2 4 21 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )n n n n n a n b n c? ? ? ? ? ? ? ? ?對一切正整數 n 都成立？若存在，求出 a b c，，的值；若不存在，說明理由．解：假設存在 a b c，，，使得所給等式成立．令 123n?，，代入等式得 016 4 381 9 18abca b ca b c? ? ???? ? ???? ? ??，，解得14140abc? ???? ????????，，以下用數學歸納法證明等式 2 2 2 2 2 2 4 2111 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )44n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ?對一切正整數n 都成立．（ 1）當 1n? 時，由以上可知等式成立；（ 2）假設當 nk? 時，等式成立，即 2 2 2 2 2 2 4 2111 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )44k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ?，則當 1nk??時， 2 2 2 2 2 2 2 21 [ ( 1 ) 1 ] 2 [ ( 1 ) 2 ] [ ( 1 ) ] ( 1 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]k k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 21 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( ) ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) ( 2 1 )k k k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 4 21 1 ( 1 ) 1 1( 2 1 ) ( 1 ) ( 1 )4 4 2 4 4kkk k k k k?? ? ? ? ? ? ? ?．由（ 1）（ 2）知，等式結一切正整數 n 都成立．

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