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新人教a版高中數學選修2-132立體幾何中的向量方法之三-資料下載頁

2025-11-09 12:14本頁面

【導讀】用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長.如圖，設二面角的大小為。從A，B到直線的距離AC和BD分別為。根據向量的加法法則DBCDACAB???本題中如果夾角可以測出，而AB未知，其他條件不變，可以計算出AB的長嗎？∴可算出AB的長。長為，三條棱長分別為各棱間夾角為。A1E⊥AB于點E，EF在平面AC內作CF⊥AB于F。∴可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值。平面的法向量平移到位置，已知。，111111ABACDF取、的中點、，為上的一點,且1NAD點在線段上，

　　

【正文】解法二：同法一，以 C為原點建立空間直角坐標系 Cxyz 在坐標平面 yoz中 1CC B?設面的一個法向量為 BDC1 ),( zyxm ?同法一，可求 B(0,1,0) )0,41,43(D )22,0,0(1C )0,43,43( ??DB )22,41,43(1 ??DC∴ 可取＝ (1,0,0)為面的法向量 BCC1∴ n?y x z C A D B C1 B1 A1 由得 mDBmDC ?? ,113 1 2 0,4 4 2C D m x y z? ? ? ? ? 04343 ????? yxmDB解得 zyx263 ?? 所以，可取 )6,3,3(?m二面角的大小等于〈〉 CBCD ??1 nm??,∴ ∴ cos〈〉 = nm ??,22233 ????nmnm即二面角的余弦值為 CBCD ?? 1 22 方向朝面外，方向朝面內，屬于“一進一出”的情況，二面角等于法向量夾角 n m1. 已知正方體的邊長為 2， O為 AC和 BD的交點， M為的中點（ 1）求證：直線面 MAC （ 2）求二面角的余弦值 1111 DCBAA B C D ?1DD?OB1CMAB ??1鞏固練習 B1 A1 C1 D1 D C B A O M 21 2 ??? ??)0,20( 21 ???? ????A B n ?221??? ??2?1?2. 線面角設 n為平面的法向量，直線 AB與平面所成的角為，向量與 n所成的角為，則 ? ?1? AB 2?n 而利用可求，從而再求出 2?1?nABnAB???2c o s ?2. 線面角 ?u?a???u?l a??設直線 l的方向向量為，平面的法向量為，且直線與平面所成的角為 ( ),則 a? ul ? 02??≤ ≤?s i nauau??

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