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20xx研究性學習備選課題-資料下載頁

2025-09-29 19:36本頁面

　　

【正文】逆用，以充實構造法證明。問題10 我們對待任何問題（包括解決數學問題）往往用自己的審美意識去審視，以調節自己的行動計劃。在解幾中探索與搜集以美的啟迪思維的題材，加以整理與綜合研究。問題11 整理解幾中常常被人忽視和特例而使問題的解決不完整的有素材，如用點斜式而忽視斜率存在，截距式而忽視截距為零等。問題12 利用角參數與距離參數的相互轉化以實現命題的演變，達到以點帶面，觸類旁通的目的。問題13 將與中點有關的問題及解決方法進行推廣，使之適用于定比分點的相應問題與方法。問題14 研究求軌跡問題中的坐標轉移法與參數法的相互聯系。問題15 關于斜率為 1的特殊直線的對稱問題的簡捷解法中，概括出適用范圍更加廣闊的解題策略。問題16 解決橢圓問題不如圓容易，能否使問題化歸，即橢圓問題的圓化處理，進而研究圓錐曲線（包括其退化情形如兩條相交線，平行線等）的圓化處理。問題17 整理與焦半徑有關的問題，并將之“純代數化”，進而研究其“純代數解法”，從中探索新方法。問題18 把點差法解中點弦問題進行推廣，使之能解決“定比分點弦”問題。問題19 求軌跡問題中，純粹性的簡捷判別。問題20 在定比分點公式、弦長公式、點到直線的距離公式的推導過程中隱含著“射影思想”，擴大這思想在解幾中的地位或功能。問題21 對平移變換的解題功能進行綜述。問題22 與中點弦有關的圓錐曲線中的參數范圍確定問題，往往需要建立不等式進行求解，各種方法中以點在曲線內部條件為隹。試將這方法推廣到定比分點弦的情形。《函數部分》問題23 空集是一切集合的子集，但在解決關集合問題時，常常忽略這一事實。試整理這方面的各類問題。問題24 整理求定義域的規則及類型（特別是復合函數的類型）。問題25 求函數的值域、單調區間、最小正周期等有關問題時，往往希望將自變量在一個地方出現，所以變量集中的原則就提供了解題的方向，試研究所有與變量集中原則有關的類型（如配方法、帶余除法等）。問題26 總結求函數值域的有關方法，探索判別式法的一般情形——實根分布的條件用于求值域。問題27 利用條件最值的幾何背景進行命題演變，與命題分類。問題28 回顧解指數、對數方程（不等式）的化歸實質（利用外層函數的單調性去掉兩邊的外層函數的符號），我們稱之為“給函數更衣”，于是我們可以隨心所欲地將方程（不等式）進行演變。你能利用這一點編擬一些好題嗎。問題29 探求“反函數是它本身”的所有函數。從而可解決一類含抽象函數的方程，概括所有這種方程的類型。問題30 在原點有定義的奇函數，其隱含條件是f(0)=0,試以這一事實編擬、演變命題。問題31 把兩面鏡子相對而立，若你處于其中，將看到許多肖像位置呈現出周期性，你能把這一事實數學化嗎？若把軸對稱改為中心對稱又怎么結論？問題32 對于含參數的方程（不等式），若已知解的情況確定參數的取值范圍，我們通常用函數思想及數形結合思想進行分離參數，試概括問題的類型，總結分離參數法。問題33 改變含參數的方程（不等式）的主元與參數的地位進行命題的演變。探索換主元的功能。《三角部分》問題34 數形結合是數學中的重要的思想方法之一，而單位圓中的三角函數線卻被人們所遺忘，試探它在解決三角問題中的數形結合功能。問題35 概括sinx cosx=a時相應x的取值范圍，及問題條件中涉及這一條件時的所隱含的結論。問題36 整理三角代換的的類型，及其能解決的哪幾類問題。問題37 三角最值的構造證法中，型如，可轉化成：1）動點（）與定點（d,b）連線的斜率；2）或先化為從而轉化為動點（）與定點連線斜率等，考慮各種構造法的背景的聯系，能否以此聯系用于解決幾何問題。問題38 一個三角公式不僅能正用，還需會逆用與變用，試將后者整理之。問題39 概括三角恒等式證明中的一次弦式、高次弦式和切式證明的常用方法。問題40 三角形的形狀判定中，對于含邊角混合關系的條件，利用正、余弦定理總有兩種轉化，即轉化為角關系或邊關系，探索其中一種對另一種解法的啟示功能。《不等式部分》問題41 一個數學命題若從正面入手分類情況較多，運算量較大，甚至無法求解，此時不妨考慮其反面進行求解得解集，然后再取其補集即得原命題的解。我們把它稱為“補集法”，試整理常見的類型的補集法。問題42 概括使用均值不等式求最值問題中的“湊”的技巧，及拆項、添項的技巧。問題43 觀察式子的結構特征，如分析式子中的指數、系數等啟示證題的的方向。問題44 探求一此著名不等式（如柯西不等式、排序不等式等）和多種證法，尋找其背景以加深對不等式的理解。問題45 整理常用的一此代換（三角代換、均值代換等），探索它在命題轉化中的功能。問題46 考慮均值不等式的變用，及改變之后的不等式的背景意義。問題47 分母為多項式的輪換對稱不等式，由于難以參于通分，證明往往較難。探求一種代換，將分母為多項式的轉化為單項式。問題48 探索絕對值不等式和物理模擬法

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