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綜合法與分析法2-資料下載頁

2025-10-14 22:17本頁面

　　

【正文】 (ab+bcac)=2(ab+bcb2)=2b(a+cb)0∴a2+b2+c2(ab+c)2+abba例已知a,b206。R,求證ab179。進行。證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關于a,b對稱，不妨設a179。b179。0\aabbabba=abbb(aabbab)179。0，從而原不等式得證。2）商值比較法：設a179。b0,aabbaaQ179。1,ab179。0,\ba=()ab179。 ab故原不等式得證。注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。例若實數x185。1，求證：3(1+x2+x4)(1+x+x2)：采用差值比較法：3(1+x2+x4)(1+x+x2)2=3+3x2+3x41x2x42x2x22x3=2(x4x3x+1)=2(x1)2(x2+x+1)13=2(x1)2[(x+)2+].2413Qx185。1,從而(x1)20,且(x+)2+0, 2413∴2(x1)2[(x+)2+]0, 24∴3(1+x2+x4)(1+x+x2)例1．設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)只需證a22ab+b2＞0成立，即需證(ab)2＞0成立。而由已知條件可知，a≠b，有ab≠0，所以(ab)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書寫)∵a≠b，∴ab≠0，∴(ab)2＞0，即a22ab+b2＞0亦即a2ab+b2＞ab由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證例已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2+b2)(c2+d2)分析一:用分析法證法一:(1)當ac+bd≤0時,(2)當ac+bd0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即證2abcd≤b2c2+a2d2即證0≤(bcad)2因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法證二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c22abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bcad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2+b2)(c2+d2)≥|ac+bd|≥ac+分析三:用比較法證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2=(bcad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法∴(a2+b2)(c2+d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2+b2)(c2+d2)例設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)只需證a22ab+b2＞0成立，即需證(ab)2＞0成立。而由已知條件可知，a≠b，有ab≠0，所以(ab)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書寫)∵a≠b，∴ab≠0，∴(ab)2＞0，即a22ab+b2＞0亦即a2ab+b2＞ab22由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(aab+b)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立；比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，、a,b,c206。R+,求證a+b+c)設a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2a2b2+4ab179。.略證：正弦、余弦定理代入得：2abcosC+4ab179。sinC，p即證：2cosC179。C，即：C+cosC163。2，即證：sin(C+)163。1（成6立）.新學案31頁7,33頁：教材P52 練習3題.

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