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高中數學人教a版選修2-132立體幾何中的向量方法第2課時知能演練輕松闖關-資料下載頁

2025-11-26 06:40本頁面

【導讀】則D1，B，A，C，∴〈BD1→，AC→〉＝90°，其余弦值為0.l1的一個方向向量為a＝，直線l2的一個方向向量為b＝，＝·12＋22＋12²22＋（－2）2＝2＋46²8＝32.則cosθ＝±|cos〈u，v〉|＝±|－12³2|＝±12.立空間直角坐標系(圖略)，∴AC與BF所成的角為60°.∵n⊥BD→，n⊥BB1→，B′＝4，OA＝OB＝13，折后，∠AOB＝90°，|AB→|2＝|AA′→|2＋|A′B′→|2＋|B′B→|2＋2|AA′→|²|B′B→|²cos(π－θ)．?！?6＝9＋42＋9＋2³3³3³cos(π－θ)，a，a2，0，A′C→＝，DE→＝????易得平面ABCD的一個法向量為n＝，則m·DF→＝0，m·EF→＝0，＝|－2－4－4|3＝103.

　　

【正文】 BD⊥ 平面 PAD，故 PA⊥ BD. (2)如圖，以 D為坐標原點， AD的長為單位長，射線 DA為 x軸的正半軸，建立空間直角坐標系 A(1， 0， 0)， B(0， 3， 0)，C(－ 1， 3， 0)， P(0， 0， 1)． AB→ ＝ (－ 1， 3， 0)， PB→ ＝ (0， 3，－ 1)， BC→ ＝ (－ 1， 0， 0)．設平面 PAB的法向量為 n＝ (x， y， z)，則?????nAB→ ＝ 0，n178。 PB→ ＝ 0.即 ???－ x＋ 3y＝ 0，3y－ z＝ 0. 因此可取 n＝ ( 3， 1， 3)．設平面 PBC的法向量為 m，則?????mPB→ ＝ 0，mBC→ ＝ 0. 可取 m＝ (0，－ 1，－ 3)． cos〈 m， n〉＝－ 42 7＝－ 2 77 . 故二面角 A PB C的余弦值為－ 2 77 . 11.(創(chuàng)新題 )如圖，四棱錐 P－ ABCD中，底面 ABCD是平行四邊形， PG⊥ 平面 ABCD，垂足為 G， G在 AD上，且 AG＝ 13GD， BG⊥ GC， GB＝ GC＝ 2， E是 BC的中點，四面體 P－BCG的體積為 83. (1)求異面直線 GE與 PC 所成的角的余弦值； (2)求點 D到平面 PBG的距離．解： (1)由已知 VP－ BGC＝ 13S△ BGC178。 PG ＝ 13178。 12BG178。 GCPG＝ 83， ∴ PG＝ 4. 如圖所示，以 G點為原點建立空間直角坐標系，則 B(2， 0， 0)， C(0， 2， 0)， P(0， 0， 4)．故 E(1， 1， 0)， GE→ ＝ (1， 1， 0)， PC→ ＝ (0， 2，－ 4)， ∴ cos〈 GE→ ， PC→ 〉＝ GE→ PC→|GE→ ||PC→ | ＝ 22178。 20＝ 1010 ， ∴ 異面直線 GE與 PC所成的角的余弦值為 1010 . (2)平面 PBG的單位法向量 n＝ (0，177。 1， 0)． ∵ |GD→ |＝ 34|BC→ |＝ 32 2， ∠ CGD＝ 45176。， ∴ GD→ ＝ ?? ??－ 32， 32， 0 . ∴ 點 D到平面 PBG的距離為 d＝ |GD→ 178。 n||n| ＝32.

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