蘇教版選修2-2高中數學第2章推理與證明章末測試-資料下載頁

2025-11-26 09:28本頁面

【導讀】N*)是等差數列，則有bn＝a1＋a2＋?N*)也為等差數列．類。比上述性質，相應地，若數列{}是等比數列，且＞0(n?解析方程F＝0至少有兩個實根，意指方程F＝0有兩個或兩個以上實根，n∈N*，故2007在上行，又因為上行奇數的箭頭為→an. ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，∠。A＝∠B＝90°不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角；③假設∠A、∠B、∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A＝∠B＝90°.5．用數學歸納法證明(n＋1)(n＋2)?×時，從“k”到“k. 若n＝k＋1時，左邊變為(k＋2)(k＋3)?與上式相比增的代數式應為?①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②推理形式不正確；③兩個“自然數”概念不一致；解析由a1，a2，a3，a4的形式可歸納，∴a8的首項應為第29個正奇數，即2×29－1＝57.9．在數列{an}中，a1＝1，且Sn、Sn＋1、2S1成等差數列，則S2、S3、S4分別為______________，猜想Sn＝________.在區間(0，π)上是凸函數，則在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值為________．

　　

【正文】 F，連接 AF. ∵ AB⊥ AC， AB⊥ AD，圖 ② ∴ AB⊥ 平面 ACD. 而 AF? 平面 ACD， ∴ AB⊥ AF. 在 Rt△ ABF中， AE⊥ BF， ∴ 1AE2＝ 1AB2＋ 1AF2. 在 Rt△ ACD中， AF⊥ CD， ∴ 1AF2＝ 1AC2＋ 1AD2. ∴ 1AE2＝ 1AB2＋ 1AC2＋ 1AD2，故猜想正確． 20． (本小題滿分 16 分 )已知等差數列 {an}的公差 d大于 0，且 a2， a5是方程 x2－ 12x＋ 27＝ 0 的兩根，數列 {bn}的前 n項和為 Tn，且 Tn＝ 1－ 12bn. (1)求數列 {an}、 {bn}的通項公式； (2)設數列 {an}的前 n項和為 Sn，試比較 1bn與 Sn＋ 1的大小，并說明理由．解 (1)由已知得????? a2＋ a5＝ 12，a2a5＝ 27. 因為 {an}的公差大于 0，所以 a5a2，所以 a2＝ 3， a5＝ 9. 所以 d＝ a5－ a23 ＝ 9－ 33 ＝ 2， a1＝ 1，即 an＝ 2n－ 1. 因為 Tn＝ 1－ 12bn，所以 b1＝ 23. 當 n≥ 2 時， Tn－ 1＝ 1－ 12bn－ 1，所以 bn＝ Tn－ Tn－ 1＝ 1－ 12bn－ 1－ 12bn－ 1，化簡得 bn＝ 13bn－ 1，所以 {bn}是首項為 23，公比為 13的等比數列，即 bn＝ 2313n－ 1＝ 23n. 所以 an＝ 2n－ 1， bn＝ 23n. (2) 因為 Sn＝ 1＋ ?2n－ 1?2 n＝ n2，所以 Sn＋ 1＝ (n＋ 1)2， 1bn＝ 3n2 . 下面比較 1bn與 Sn＋ 1的大小：當 n＝ 1 時， 1b1＝ 32， S2＝ 4，所以 1b1S2，當 n＝ 2 時， 1b2＝ 92， S3＝ 9，所以 1b2S3，當 n＝ 3 時， 1b3＝ 272 ， S4＝ 16，所以 1b3S4，當 n＝ 4 時， 1b4＝ 812 ， S5＝ 25，所以 1b4S5. 猜想： n≥ 4 時， 1bn＞ Sn＋ 1. 下面用數學歸納法證明： ① 當 n＝ 4 時，已證． ② 假設當 n＝ k(k? N*， k≥ 4)時， 1bkSk＋ 1，即 3k2＞ (k＋ 1)2，那么， 1bk＋ 1＝ 3k＋ 12 ＝ 33k2 3(k＋ 1)2＝ 3k2＋ 6k＋ 3 ＝ (k2＋ 4k＋ 4)＋ 2k2＋ 2k－ 1[(k＋ 1)＋ 1]2＝ S(k＋ 1)＋ 1，所以當 n＝ k＋ 1 時， 1bnSn＋ 1也成立．由 ①② 可知，對任何 n? N*， n≥ 4， 1bnSn＋ 1都成立．綜上所述，當 n＝ 1,2,3 時， 1bnSn＋ 1，當 n≥ 4 時， 1bnSn＋ 1.

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