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20xx年數學高考專題--用構造局部不等式法證明不等式[模版]-資料下載頁

2025-10-17 22:06本頁面

　　

【正文】 0 237。22238。9x+y=4令△= 4（52－9m2）=0 得：m=22或m=（去）33即m的最大值為424，故163。m163。，即163。49x22x163。 33333五、構造方程證明不等式例6：設 aa…an 為任意正數，證明對任意正整數n不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …+ an2)均成立證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0由此聯想到根的判別式而構造一元二次方程：(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0當aa…an不全相等時，a1 x+a2 x+…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數，方程（＊）顯然無解。當a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝1 a1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數n均成立六、構造數列證明不等式例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn n2n n12圖（2）12n證明：不等式左邊為 2－1=從而聯想到等比數列的求和公式，12n111n1n1n2n12=n于是左邊=1+2+2+…+ 2 =[(1+2)+(2+2)+ …(2+1)≥n22 222n－1例8：設任意實數a、b均滿足| a | 1，| b | 1，求證：112+179。 1a21b21ab證明：不等式中各分式的結構特點與題設聯想到無窮等比數列（| q | 1）各項和公式S＝a1，1q則：11+=（1 + a2 + a4 + …）+（1 + b2 + b4 + …）221a1b=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ …≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … = 2 1ab七、構造函數證明不等式例9：已知 | a | 1，| b | 1，| c | 1，求證：ab＋bc＋ca＞－1證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋10 ……①將a看作自變量，于是問題轉化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數。因而可構造函數 f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)若b + c = 0原不等式顯然成立。若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數，f(a)在（－1,1）上為單調函數而 f(1)=－b－c + bc +1＝（1－b）（1－c）＞0f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1此題還可由題設構造不等式：（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0（1－a）（1－b）（1－c）＞0兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1八、構造對偶式證明不等式例10：對任意自然數n，求證：(1+1)(1+11)…(1+)43n2證明：設an =(1+1)(1+112583n43n1)…(1+)= … 43n21473n53n23693n33n47103n23n+1…， = … 2583n43n13693n33n構造對偶式：bn =Q1+∴an 111131+1+，即an bn，an ，∴an，1+ an bn 3n23n13n23n11)，即：(1+1)(1+)…(1+43n2

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