高中數(shù)學重要考試知識點歸納-資料下載頁

【導讀】任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排。集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}. 2．集合的表示方法：列舉法與描述法。反，a不屬于集合A記作a?用確定的條件表示某些對象是否屬于這個。兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

　　

【正文】 環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷； 在 WHILE語句中，是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在 UNTIL語句中，是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán) 六．輾轉(zhuǎn)相 除法與更相減損術 輾轉(zhuǎn)相除法。 也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下： （ 1）：用較大的數(shù) m除以較小的數(shù) n得到一個商 和一個余數(shù) ； （ 2）：若 ＝ 0，則 n為 m， n的最大公約數(shù)；若 ≠ 0，則用除數(shù) n除以余數(shù) 得到一個商 和一個余數(shù) ； （ 3）：若 ＝ 0，則 為 m， n的最大公約數(shù)；若 ≠ 0，則用除數(shù) n除以余數(shù) 得到一個商 和一個余數(shù) ；?? 依次計算直至 ＝ 0，此時所得到的 即為所求的最大公約數(shù)。 更相減損術 我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術。在《九章算術》中有更相減損術求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母 ?子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。 翻譯為：（ 1）：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用 2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。 （ 2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術的區(qū)別： （ 1）都是求最大公約數(shù)的方法 ，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。 （ 2）從結果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結果是以相除余數(shù)為 0則得到，而更相減損術則以減數(shù)與差相等而得到 七．秦九韶算法與排序 秦九韶算法概念 ： f(x)=anxn+an1xn1+? .+a1x+a0求值問題 f(x)=anxn+an1xn1+ ? .+a1x+a0=( anxn1+an1xn2+ ? .+a1)x+a0 =(( anxn2+an1xn3+ ? .+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an1)x+an2)x+...+a1)x+a0 求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項式的值，即 v1=anx+an1然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即 v2=v1x+an2 v3=v2x+an3 ...... vn=vn1x+a0 這樣，把 n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求 n個一次多項式的值的問題。 兩種排序方法 ： 直接插入排序和冒泡排序 直接插入排序 基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一 個。將第１個數(shù)放入數(shù)組的第１個元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進滿足條件？ 循環(huán)體 是 否 DO 循環(huán)體 LOOP UNTIL 條件 Page 19 of 30 行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明） 冒泡排序 基本思想：依次比較相鄰的兩個數(shù) ,把大的放前面 ,小的放后面 .即首先比較第 1個數(shù)和第 2個數(shù) ,大數(shù)放前 ,小數(shù)放后 .然后比較第 2個數(shù)和第 3個數(shù) ......直到比較最后兩個數(shù) .第一趟結束 ,最小的一定沉到最后 .重復上過程 ,仍從第 1個數(shù)開始 ,到最后第 2個數(shù) ...... 由于在排序過程中總是大數(shù)往前 ,小數(shù)往后 ,相當氣泡上升 ,所以叫冒泡排序 . 八． 進位制 概念： 進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值。可使用數(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為 n，即可稱 n進位制，簡稱 n進制。現(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用 10個阿拉伯數(shù)字 09進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數(shù) 57，可以用二進制表示為 111001，也可以用八進制表示為 7用十六進制表示為 39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。 一般地，若 k是一個大于一的整數(shù)，那么以 k為基數(shù)的 k進制可以表示為： 1 1 0 ( ) 1 1 0.. . ( 0 , 0 , .. ., , )n n k n na a a a a k a a a k??? ? ? ?， 而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示 ,如 111001(2)表示二進制數(shù) ,34(5)表示 5進制數(shù) 第二章 ． 統(tǒng)計 一．簡單隨機抽樣 1． 總體和樣本 在統(tǒng)計學中 , 把研究對象的全體叫做總體．把每個研究對象叫做個體．把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量． 為了研究總體 的有關性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分： ， ， ， 研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數(shù)稱為樣本容量． 2．簡單隨機抽樣， 也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。 3．簡單隨機抽樣常用的方法 ： （ 1）抽簽法； ⑵隨機數(shù)表法； ⑶計算機模擬法； ⑷使用統(tǒng)計軟件直接抽取。 在簡單隨機抽樣的樣本容量設計 中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。 4．抽簽法 : （ 1）給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號； （ 2）準備抽簽的工具，實施抽簽 （ 3）對樣本中的每一個個體進行測量或調(diào)查 例：請調(diào)查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。 5．隨機數(shù)表法： 例：利用隨機數(shù)表在所在的班級中抽取 10位同學參加某項活動。 二．系統(tǒng)抽樣 1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）： 把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。 K（抽樣距離） =N（總體規(guī)模） /n（樣本規(guī)模） 前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關的規(guī)則分布。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)Page 20 of 30 性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。 2．系統(tǒng)抽樣，即等 距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為 重要的是，如果有某種與調(diào)查指標相關的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。 三．分層抽樣 1．分層抽樣（類型抽樣）： 先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟危缓笤僭诟鱾€類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。 兩種方法： 1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。 2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序 整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。 2．分層抽樣是把異質(zhì)性較強的總體分成一個個同質(zhì)性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。 分層標準：（ 1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。 （ 2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強、各層之間異質(zhì)性強、突出總體內(nèi)在結構的變量作為分層變量。 （ 3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。 3．分層的比例問題： （ 1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法 。 （ 2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進行加權處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復到總體中各層實際的比例結構。 四．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 本均值： ．樣本標準差： 3．用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息 ，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。 雖 然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。 4．（ 1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標準差不變 （ 2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù) k，標準差變?yōu)樵瓉淼?k倍 （ 3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間 )3,3( sxsx ?? 的應用；去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理 五．兩個變量的線性相關 概念 :（ 1）回歸直線方程 （ 2）回歸系數(shù) 2．最小二乘法 3． 直線回歸方程的應用 （ 1）描述兩變量之間的依存關系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關系 （ 2）利用回歸方程進行預測；把預報因子（即自變量 x）代入回歸方程對預報量（即因變量 Y）進行估計，即可得到個體 Y值Page 21 of 30 的容許區(qū)間。 （ 3）利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定 Y值的變化，通過控制 x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控制的目標。如已經(jīng)得到了空氣中 NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中 NO2的濃度。 4．應用直線回歸的注意事項 （ 1）做回歸分析要有實際意義； （ 2）回歸分析前 ,最好先作出散點圖； （ 3）回歸直線不要外延。 第三章．概 率 一．隨機事件的概率及概率的意義 基本概念 ： （ 1）必然事件：在條件 S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件 S的必然事件； （ 2）不可能事件：在條件 S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件 S的不可能事件； （ 3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件 S的確定事件； （ 4）隨機事件：在條件 S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件 S的隨機事件； （ 5）頻數(shù)與頻率：在 相同的條件 S下重復 n次試驗，觀察某一事件 A是否出現(xiàn)，稱 n次試驗中事件 A出現(xiàn)的次數(shù) nA為事件 A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件 A出現(xiàn)的比例 fn(A)=nnA為事件 A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件 A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件 A發(fā)生的頻率 fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作 P（ A），稱為事件 A的概率。 （ 6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù) nA與試驗總次數(shù) n的比值 nnA，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動， 且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率 二．概率的基本性質(zhì) 基本概念： （ 1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （ 2）若 A∩ B為不可能事件，即 A∩ B=ф，那么稱事件 A與事件 B互斥； （ 3）若 A∩ B為不可能事件， A∪ B為必然事件，那么稱事件 A與事件 B互為對立事件； （ 4）當事件 A與 B互斥時，滿足加法公式： P(A∪ B)= P(A)+ P(B)；若事件 A與 B為對立 事件，則 A∪ B為必然事件，所以 P(A∪ B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1— P(B) 概率的基本性質(zhì)： 1）必然事件概率為 1，不可能事件概率為 0，因此 0≤ P(A)≤ 1； 2）當事件 A與 B互斥時，滿足加法公式： P(A∪ B)= P(A)+ P(B)； 3）若事件 A與 B為對立事件，則 A∪ B為必然事件，所以 P(A∪ B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1— P(B)； 4） 互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件 A與事件 B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（ 1）事件 A發(fā)生且事件 B不發(fā)生； （ 2）事件 A不發(fā)生且事件 B發(fā)生； （ 3）事件 A與事件 B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件 A 與事件 B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形； （ 1）事件 A發(fā)生 B不發(fā)生； Page 22 of 30 Pv x y A O M T （ 2）事件 B發(fā)生事件 A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。 三．古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生 （ 1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。 （ 2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數(shù)； ②求出事件 A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式 P（ A） = 四．幾何概型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生 基本概念： （ 1）幾何概率模型 ：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型； （ 2）幾何概型的概率公式： P（