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函數近似計算的插值法插值問題的提出及l(fā)agrange插值-資料下載頁

2026-07-23 20:28本頁面

【導讀】插值問題的提出§在一系列離散點上的函數值.不經濟且不利于在計算機上進行計算.計算f可通過計算P來近似代替。稱為插值節(jié)點點,,,2,1,0,nixi??個等分點上若給定如函數5],0[,sin?整體誤差的大小反映了插值函數的好壞.數都使用代數多項式或有理函數.本章討論的就是代數插值多項式.雖然線性方程組推出的插值多項式存在且唯一,()nPx的簡單表達式.行研究與整理，提出了易于掌握和計算的統一公式，維的間是的多項式構成的線性空所有次數不超過n1?根據線性空間的理論,設為上述維線性空間的一個基。線性表示可由次多項式且任意)(,),(),()(10xxxxPnnn????為插值基函數則稱)(,),(),(10xxxn????上的一組節(jié)點為區(qū)間如果],[210babxxxxan???????次多項式我們作一組。的插值基函數作如果用)()(,),(),(),(210xfyxlxlxlxln??

　　

【正文】 ( )nnf x L x K x x? ?? ? ?1( ) ( ) ( ) ( )i n i n if x L x K x x? ?? ? ?根據 Rolle定理 , 個零點上有至少在區(qū)間 1),()( ?? nbat?再由 Rolle定理 , 個零點上有至少在區(qū)間 nbat ),()(? ??依此類推階導數為零的使得內至少有一個點在區(qū)間 1)(,),( ?ntba ??0)()1( ?? ?? n)()1( tn??1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ?( 1) ( 1) ( 1)1( ) ( ) ( ) ( )n n nnnf t L t K x t?? ? ??? ? ?由于 )!1()()( )1(???nfxK n ?)()()( 1 xxKxR nn ?? ? )()!1()(1)1(xnf nn???? ??所以 )()()( 截斷誤差的余項為插值多項式稱 xPxR nn( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nnnf L K x? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?因此 )!1()()()1( ???? ? nxKf n ? 0?即定理 1. 0( ) [ , ] 1 , ( ) ( ) [ , ], { } [ , ] ,[ , ] ,nniif x a b n L x f x a bn x a bx a b?????設在區(qū) 間上階可微為在上的次插值多項式插值節(jié) 點為則有()nRx ( 1 )1() ()( 1 ) !nnf xn? ???? ?,)()(01 ??? ??niin xxx?其中 .,),( xba 且依賴于??Lagrange型余項 |)(|m ax )1(1 xfM nbxan ???? ?|)(||)(|011 ???? ???niinn xxxN ?設 |)(| xRn則 )()!1()(1)1(xnf nn???? ??11)!1(1???? nn NMn插值基函數的性質 ( 1 )10( 1 )00: ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )( 1 ) !( ) 1 , 1 ( 1 , 2 , ) ( ) 0,( ) 1( ) 1nnnni i niniiinniif x L x R xl x f f xnf x f i nlxflx???????????????? ? ? ?????插值基函數的一個重要性質 :證明取則及故Lagrange插值算法特點 amp。局限性優(yōu)點：公式簡潔 , 理論分析方便 ? 直觀； ? 對稱； ?容易編程上機等。缺點：基函數計算復雜，計算量大 ?每增加一個節(jié)點，插值多項式的所有系數都得重算； ?計算量為。 222nn?下一節(jié)提出的 Newton插值法就是克服了上缺點。 See you later!

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