高中數學_二次函數的應用-wenkub.com

　 　

【正文】 （ 3）當 y=0時， x1=0,x2=8,故一次服藥后的有效時間為 8小時 . 17. 某商場將進價 40 元一個的某種商品按 50 元一個售出時，每月能賣出 500個 .商場想了兩個方案來增加利潤： 方案一：提高價格，但這種商品每個售價漲價 1元，銷售量就減少 10 個； 方案二：售價不變，但發資料做廣告。 . ∴ △ DFB≌△ DHE （ SAS）， ∴ BD=DE. 即 D是 BE的中點 . （ 3） 存在 . 由于 PB=PE， ∴ 點 P在直線 CD上， ∴ 符合條件的點 P是直線 CD 與該拋物線的交點 . 設直線 CD對應的函數關系式為 y=kx+b. 將 D(0,1) C(2,0)代入，得 ??? ???? 02 1bkb. 解得 1,21 ??? bk . A B C O D E x y x=2 G F H 30 ∴ 直線 CD對應的函數關系式為 y=21 x1 ∵ 動點 P的坐標為 )41,( 2 xxx ?)， ∴ . 21 x－ 1= xx ?241 解得 531 ??x ， 532 ??x . ∴ 2 511 ??y ， 2 511 ??y . ∴ 符合條件的點 P的坐標為 ( 53? ， 251? )或 ( 53? ， 251? ). 14． 已知拋物線 m： y=ax2+bx+c (a ≠ 0) 與 x軸交于 A、 B兩點 (點 A在左 )，與 y軸交于點 C，頂點為 M，拋物線上部分點的橫坐標與對應的縱坐標如下表： x … － 2 0 2 3 … y … 5 － 3 － 3 0 … （ 1）根據表中的各對對應值， 請寫出 三條 ． ． 與上述拋物線 m有關（不能直接出現表中各對對應值 ）的不同類型的正確結論 ； （ 2）若將拋物線 m， 繞原點 O 順時針旋轉 180176。（不合題意，舍去） 當 0?m 時， ∠ GFE 為鈍角，則當⊿ EFG為等腰三角形時， EFGF? ∴ mmm3 323233 3232 2 ?????????? ???? 解得 21??m ，∴2 35213 322 ??????? ?? xy 11. 如圖，以矩形 OABC 的頂點 O 為原點 ， OA 所在的直線為 x 軸， OC 所在的直線為 y軸，建立平面直角坐標系．已知 OA＝ 3， OC＝ 2，點 E是 AB的中點，在 OA上取一點 D，將△ BDA沿 BD翻折，使點 A落在 BC 邊上的點 F處． （ 1）直接寫出點 E、 F的坐標； （ 2）設頂點為 F的拋物線交 y軸 正半軸 ． ． ． 于點 P，且以點 E、 F、 P為頂點的三角形是等腰 26 三角形，求該拋物線的解析式； （ 3）在 x軸、 y軸上是否分別存在點 M、 N，使得四邊形 MNFE的周 長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由． 答案： 解：（ 1） (31)E， ； (12)F， ． （ 2）在 Rt EBF△ 中， 90B?? ， 2 2 2 21 2 5E F E B B F? ? ? ? ? ?． 設點 P 的坐標為 (0 )n， ，其中 0n? ， ∵頂點 (12)F， ， ∴設拋物線解析式為 2( 1) 2( 0)y a x a? ? ? ?． ①如圖①，當 EF PF? 時，22EF PF? ， 221 ( 2) 5n? ? ? ?． 解得 1 0n? （舍去）； 2 4n? ． (04)P? ， ． 24 (0 1) 2a? ? ? ?． 解得 2a? ． ?拋物線的解析式為 22( 1) 2yx? ? ? ②如圖②，當 EP FP? 時， 22EP FP? ， 22( 2 ) 1 (1 ) 9nn? ? ? ? ? ?． 27 解得 52n?? （舍去）． ③當 EF EP? 時， 53EP??，這種情況不存在． 綜上所述，符合條件的拋物線解析式是 22( 1) 2yx? ? ? ． （ 3）存在點 MN， ，使得四邊形 MNFE 的周長最小． 如圖 ③ ，作點 E 關于 x 軸的對稱點 E? ，作點 F 關于 y 軸的對稱點 F? ，連接 EF??，分別與x 軸、 y 軸交于點 MN， ，則點 MN， 就是所求點． (3 1)E???， ， ( 1 2 )F N F N F M E M E? ? ?? ? ?， ， ，． 43BF BE??? ? ?， ． F N N M M E F N N M M E F E? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?223 4 5? ? ． 又 5EF? ， ? 55F N N M M E E F? ? ? ? ?，此時四邊形 MNFE 的周長最小值是 55? ． 12. 如圖，直角梯形 ABCD 中， AB∥DC ， ∠ DAB=90176。 9．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數 cbxxy ??? 2 的圖象與 x 軸交于 A、 B 兩點， A點在原點的左側， B點的坐標為（ 3， 0），與 y軸交于 C（ 0， 3）點，點 P是直線 BC下方O A B C P D x y 23 的拋物線上一動點 . （ 1）求這個二次函數的表達式 ． （ 2）連結 PO、 PC，并把△ POC沿 CO翻折，得到四邊形 POP/ C， 那么是否存在點 P，使四邊形 POP/ C為菱形？若存在，請求出此時點 P的坐標；若不存在，請說明理由． （ 3）當點 P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時 P點的坐標和四邊形 ABPC的最大面積 . 答案 : 解：（ 1）將 B、 C兩點的坐標代入得??? ?? ??3 03c cb 解得：??? ???? 32cb 所以二次函數的表達式為： 322 ??? xxy （ 2）存在點 P，使四邊形 POP/ C為菱形．設 P點坐標為（ x， 322 ?? xx ）， PP/ 交 CO于 E 若四邊形 POP/ C是菱形，則有 PC＝ PO． 連結 PP/ 則 PE⊥ CO于 E， ∴ OE=EC=23 ∴ y = 23? ． ∴ 322 ?? xx = 23? 解得 1x = 2102? ， 2x = 2102? （不合題意，舍去） ∴ P點的坐標為（ 2102? ， 23? ） （ 3）過點 P作 y 軸的平行線與 BC交于點 Q，與 OB交于點 F， 設 P（ x， 322 ?? xx ）， 易得，直線 BC的解析式為 3??xy 則 Q點的坐標為（ x， x－ 3） . 24 EBQPOEQPOCABSSSS C P QB P QA B CA B P C ????????? ??? 212121四邊形 3)3(213421 2 ??????? xx 當 23?x 時，四邊形 ABPC的面積最大 此時 P點的坐標為 ?????? ?415,23，四邊形 ABPC的 面積 875的最大值為 ． =87523232 ??????? ?? x ，在平面直角坐標系 xoy中，矩形 ABCD的邊 AB在 x軸上，且 AB=3， BC= 32 ，直線 y= 323 ?x 經過點 C，交 y軸于點 G。 （ 3）∵∠ AOC＝∠ OAC＝ 21 ∠ OMC＝ 30176。∠ OMC＝ 60176。 （ 3）在（ 2）中的拋物線 CP段上（不含 C、 P點）是否存在一點 M，使得四邊形 MCPA的面積最大？若存在，求這個最大值和 M 點坐標，若不存在，說明理由。( 10 500x??) 21 0 7 0 0 1 0 0 0 0xx? ? ? ? 352bx a?? ? . 答：當銷售單價定為 35元時，每月可獲得最大利潤． （ 2）由題意，得： 21 0 7 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0xx? ? ? ? 解這個方程得： x1 = 30， x2 = 40． 答：李明想要每月獲得 2020元的利潤，銷售單價應定為 30元或 40元 . （ 3）法一： ∵ 10a?? ?? ， ∴ 拋物線開口向下 . ∴ 當 30≤ x≤40 時， w≥2020 ． ∵ x≤32 ， ∴ 當 30≤ x≤32 時， w≥2020 ． 設成本為 P（元），由題意，得： 20( 10 500)Px? ? ? 200 10000x?? ? ∵ 200k?? ?? ， 法二： ∵ 10a?? ?? ， ∴ 拋物線開口向下 . ∴ 當 30≤ x≤ 40 時， w≥ 2020． ∵ x≤ 32， ∴ 30≤ x≤ 32 時， w≥ 2020． ∵ 10 500yx?? ? ， 10 0k?? ? ， ∴ y 隨 x 的增大而減小 . ∴ 當 x = 32 時， y 最小 ＝ 180. ∵ 當進價一定時，銷售量越小， 成本越小， ∴ 20 180 3600?? （元） . 18 ∴ P隨 x的增大而減小 . ∴ 當 x = 32時， P 最小 ＝ 3600. 答：想要每月獲得的利潤不低于 2020元，每月的成本最少為 3600元． 3． 已知關于 x 的二次函數 22 12my x m x ?? ? ? 與 22 22my x m x ?? ? ? ，這兩個二次函數圖象中只有一個圖象與 x 軸交于 ,AB兩個不同的點． （ l）試判斷哪個二次函數的圖象經過 ,AB兩點； （ 2）若 A 點坐標為 ( 1,0)? ，試求 B 點 坐標 . 答案：（ l）圖象經過 A、 B兩點的二次函數為 22 2 ,2my x mx ?? ? ? ∵ 對 于 關 于 x 的 二 次 函 數 22 1 ,2my x mx ?? ? ? 而2221( ) 4 1 ( ) 2 0 ,2mmm?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以函數 22 1 ,2my x mx ?? ? ? 的圖象與 x 軸沒有交點 ∵ 對于二次函數 22 2 ,2my x mx ?? ? ? 而 2222( ) 4 1 ( ) 3 4 0 ,2mmm?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以函數 22 2 ,2my x mx ?? ? ? 的圖象與 x 軸有兩個不同的交點 . （ 2） )將 A(1,0)代入 22 22my x m x ?? ? ? ，得 2 21 2mm ??? =0. 整理，得 2 122 0 , 0 , 2m m m m? ? ? ?得 當 1 0m? 時， 2 1yx?? ，令 120 , 1, 1y x x? ? ? ?得 此時， B點的坐標是 B (l, 0)． 當 2 2m? 時， 2 23y x x? ? ? ，令 120 , 1, 3y x x? ? ? ?得 19 此時， B點的坐標是 B（ 3， 0） . 4． 已知：拋物線 C1： 221( 2 ) 22y x m x m? ? ? ? ?與 C2： 2 2y x mx n? ? ? 具有下列特征：① 都與 x軸 有 交 點 ； ② 與 y軸相交于同一點． （ 1） 求 m， n的值； （ 2） 試寫出 x為何值時， y1 ＞ y2？ （ 3） 試描述拋物線 C1通過怎樣的變換得到拋物線 C2． 【解】 答案： （ 1） 由 C1知： △=( m+2)2－ 4( 12 m2+2)=m2+4m+4―2 m2―8 =― m2+4m― 4=―( m―2) 2≥ 0， ∴ m＝ 2． 當 x＝ 0時， y＝ 4． ∴ 當 x＝ 0時， n＝ 4． （ 2）令 y1＞ y2 時 ， 4444 22 ????? xxxx ， ∴ x＜ 0． ∴ 當 x＜ 0時， y1＞ y2； （ 3） 由 C1向左平移 4個單位 長度 得到 C2． 5．某住宅小區在住宅建設時留下一塊 1798平方米的矩形空地，準備建一個矩形的露天游泳