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第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示therepresentationofpower-wenkub.com

2026-07-19 13:34 本頁面

　　

【正文】（ 3） 2 |z| +? 內(nèi) 展開成洛朗級數(shù) . x y O 1 x y O 1 2 x y O 2 ? ? ? ?? ?21 12 ??? zzzf將函數(shù)例zzzf ???? 2111)(解：2112111)(zzzf????故12110)1( ????? zzz ???????????????????01010 21121nnnnnnnn zzz )( ?????????????????????????????011010 212112112111112111)(nnnnnnnnnnzzzzzzzzzzzf122 ??? zz?又 11121)2( ?????zzz ?1222)3( ????????zzz ?zzzzzzzf211111112111)(????????????????????????????????????1100122111nnnnnnn zzzzz?????????????????020120)!12()1()!12()1(1s i nnnnnnnznznzzzz解：.0s i n3 展開成洛朗級數(shù)＋在求例 ??? zz zy x o 1 2 )1(11112111)(?????????? zzzzzf??????????????? ???20)2()1(111)1(11zzzzznn解 :(1)在 (最大的 )去心鄰域 110 ??? z)(,))(()(討論域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)的去心鄰在以點將例212114?????zzzzzf (2) 在 (最大的 )去心鄰域內(nèi)120 ??? z)2(11212111)(?????????zzzzzf?????????????? ???20)2()2(121)2()1(21zzzzznnn注意 : 一個函數(shù) f ( z ) 可以在奇點展開為洛朗級數(shù)，也可在非奇點展開。 (即使冪級數(shù)在其收斂圓周上處處收斂 ) 而如果把函數(shù)中的 x換成 z, 在復平面內(nèi)來看函數(shù) 211 z ??1?z2+z4?… 它有兩個奇點 ?i, 而這兩個奇點都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上 , 所以這個級數(shù)的收斂半徑只能等于 1. 因此 , 即使我們只關心 z的實數(shù)值 , 但復平面上的奇點形成了限制 . 在實變函數(shù)中有些不易理解的問題 , 一到復變函數(shù)中就成為顯然的事情 , 例如在實數(shù)范圍內(nèi) , 展開式 2 4 221 1 ( 1 )1nnx x xx ? ? ? ? ? ? ??的成立必須受 |x|1的限制 , 這一點往往使人難以理解 , 因為上式左端的函數(shù)對任何實數(shù)都是確定的而且是可導的 . 167。泰勒（ Taylor）級數(shù) 167。 0 (l=+∞)。根據(jù)推論知 ,它必在圓周 |za|=|z2a|外部發(fā)散 .) 在這種情況下 ,可以證明 ,存在一個有限正數(shù) R,使得級數(shù) ()在圓周 |za|=R內(nèi)部絕對收斂 ,在圓周 |za|=R外部發(fā)散 .R稱為此冪級數(shù)的收斂半徑。復數(shù)項級數(shù) 一、復數(shù)序列的極限二、復數(shù)項級數(shù) (Series of plex number）一、復數(shù)序列的極限 ,}{ 時的極限當稱為復數(shù)列那末 ??nzz n0記作 .lim 0zz nn ??? . }{ 0zz n 收斂于此時也稱復數(shù)列 , ),( }{ 其中為一復數(shù)列設 ?21?nz n,nnn yxz i?? ,y 0 為一確定的復數(shù)又設 i00 ?? xz.),(,???????00zzNnNn時，有當總存在正整數(shù)如果對于任意給定就能找到一個正數(shù) N, 從而有 .lim aa nn ???所以 .lim bb nn ???同理 ? ?的充分必要條件是則設復數(shù)列???????????nnnnn babalim, ii定理 0??那末對于任意給定證明反之 , 如果 ,lim,lim bbaannnn ?? ????從而有 [證畢 ] 稱為復數(shù)項級數(shù) . 稱為級數(shù)的部分和 . 若 {sn}(n=1,2,…,) 以有限復數(shù) s為極限 , 二、復數(shù)項級數(shù) 即 ? ?是一復數(shù)列，則設 n?則稱復數(shù)項無窮級數(shù) ()收斂于 s,且稱 s為()的和 ,寫成否則稱級數(shù) ()為發(fā)散 . ??? 01nnz級數(shù)例,)1(11 ???? zzznzzs nnnn ??????? 11limlim ,11z??????1nnS ? 定理復級數(shù) 收斂于 s=a+ib(a,b為實數(shù) )的充要條件為 : bbaannnn

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