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什么是p問題、np問題和npc問題-wenkub.com

2026-07-23 18:58 本頁面

　　

【正文】現在我們需要做的，至少是不要把概念弄混淆了。現在被證明是NPC問題的有很多，任何一個找到了多項式算法的話所有的NP問題都可以完美解決了。它顯然屬于NP問題，并且可以直接證明所有的NP問題都可以約化到它（不要以為NP問題有無窮多個將給證明造成不可逾越的困難）。我們就說，這個邏輯電路不存在使輸出為True的一組輸入。下面就是一個簡單的例子。│ 輸入3├─→┤ NOT├─→────┘│┌──┐┌───┐│└─→┤└──┘│ 輸入2├─→┤│ or ├→─┐┌──┐│ 輸入1├─→┐因此，邏輯電路問題是NPC類問題的“鼻祖”。下文即將介紹它。事實上，由于NPHard放寬了限定條件，它將有可能比所有的NPC問題的時間復雜度更高從而更難以解決。順便講一下NPHard問題。既然所有的NP問題都能約化成NPC問題，那么只要任意一個NPC問題找到了一個多項式的算法，那么所有的NP問題都能用這個算法解決了，NP也就等于P 了。同時滿足下面兩個條件的問題就是NPC問題。再次回到全文開頭，我們可以看到，人們想表達一個問題不存在多項式的高效算法時應該說它“屬于NPC問題”。這種問題的存在難以置信，并且更加不可思議的是，這種問題不只一個，它有很多個，它是一類問題。通過對某些問題的不斷約化，我們能夠不斷尋找復雜度更高，但應用范圍更廣的算法來代替復雜度雖然低，但只能用于很小的一類問題的算法。現在再來說一下約化的標準概念就不難理解了：如果能找到這樣一個變化法則，對任意一個程序A的輸入，都能按這個法則變換成程序B的輸入，使兩程序的輸出相同，那么我們說，問題A可約化為問題B。正如解一元二次方程比解一元一次方程難，因為解決前者的方法可以用來解決后者。“問題A可約化為問題B”有一個重要的直觀意義：B的時間復雜度高于或者等于A的時間復雜度。這個規則即是：兩個方程的對應項系數不變，一元二次方程的二次項系數為0。《算法導論》上舉了這么一個例子。正是NPC問題的存在，使人們相信P≠NP。但是，一個總的趨勢、一個大方向是有的。NP問題一直都是信息學的巔峰。關鍵是，人們想知道，是否所有的NP問題都是P類問題。我們不會指望一個連多項式地驗證一個解都不行的問題存在一個解決它的多項式級的算法。很顯然，前面所說的Hamilton回路是NP問題，因為驗證一條路是否恰好經過了每一個頂點非常容易。我猜到的方案總是最優的，不滿足題意的方案也不會來騙我去選它。別人會問他這題怎么做出來的，他就可以說，因為我找到了一個比100 小的解。它根據數據畫好了圖，但怎么也算不出來，于是來問我：你看怎么選條路走得最少？我說，我RP很好，肯定能隨便給你指條很短的路出來。NP問題是指可以在多項式的時間里驗證一個解的問題。道理很簡單，一個用窮舉換來的非多項式級時間的超時程序不會涵蓋任何有價值的算法。下面引入P類問題的概念：如果一個問題可以找到一個能在多項式的時間里解決它的算法，那么這個問題就屬于P問題。那么，根據這個定義，我也能舉出一個不大可能會有多項式級算法的問題來：Hamilton回路。The Halting

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