matlab-多項式、插值與數據擬合-文庫吧

【正文】 9*x^2792*x162 插值 Lagrange插值 ? 方法介紹 對給定的 n個插值點 及對應的函數值 ，利用構造的 n1次 Lagrange插值多項式，則對插值區間內任意 x的函數值 y可通過下式求的： ? MATLAB實現 12, , , nx x x12, , , ny y y1 1( ) ( )nnjkk j kjjkxxy x yxx? ?????? ?function y=lagrange(x0,y0,x) ii=1:length(x0)。 y=zeros(size(x))。 for i=ii ij=find(ii~=i)。 y1=1。 for j=1:length(ij), y1=y1.*(xx0(ij(j)))。 end y=y+y1*y0(i)/prod(x0(i)x0(ij))。 end ? 算例：給出 f(x)=ln(x)的數值表，用 Lagrange計算ln()的近似值。 x=[::]； y=[,]。 lagrange(x,y,[,]) ans = （ 精確解 ) 1 1( ) ( )nnjkk j kjjkxxy x yxx? ?????? ? Hermite插值 ? 方法介紹 不少實際問題不但要求在節點上函數值相等，而且要求導數值也相等，甚至要求高階導數值也相等，滿足這一要求的插值多項式就是 Hermite插值多項式。下面只討論函數值與一階導數值個數相等且已知的情況。 已知 n個插值點 及對應的函數值 和一階導數值 。則對插值區間內任意 x的函數值 y的 Hermite插值公式： 12, , , nx x x12, , , ny y y 39。39。 39。12, , , ny y y39。1211( ) [ ( ) ( 2 ) ]1 ( ) 。ni i i i i iin njiijj i j i jjijiy x h x x a y y yxxhax x x x?????? ? ? ?????????其中? MATLAB實現 % function y=hermite(x0,y0,y1,x) n=length(x0)。 m=length(x)。 for k=1:m yy=。 for i=1:n h=。 a=。 for j=1:n if j~=i h=h*((x(k)x0(j))/(x0(i)x0(j)))^2。 a=1/(x0(i)x0(j))+a。 end end yy=yy+h*((x0(i)x(k))*(2*a*y0(i)y1(i))+y0(i))。 end y(k)=yy。 end 39。1211( ) [ ( ) ( 2 ) ]1 ( ) 。ni i i i i iin njiijj i j i jjijiy x h x x a y y yxxhax x x x?????? ? ? ?????????其中? 算例 :對給定數據 ,試構造 Hermite多項式求出。 x0=[,]。 y0=[,]。 y1=[,]。 y=hermite(x0,y0,y1,) y = sin() ％與精確值比較 ans = x=[::]。y=hermite(x0,y0,y1,x)。 plot(x,y) y2=sin(x)。 hold on plot(x,y2,39。r39。) Runge現象 ? 問題的提出：根據區間 [a,b]上給出的節點做插值多項式 p(x)的近似值，一般總認為 p(x)的次數越高則逼近 f(x)的精度就越好，但事實并非如此。 ? 反例： 在區間 [5,5]上的各階導數存在，但在此區間上取 n個節點所構成的 Lagrange插值多項式在全區間內并非都收斂。 ? 取 n=10,用 Lagrange插值法進行插值計算。 21()1fx x? ? x=[5:1:5]。 y=1./(1+x.^2)。 x0=[5::5]。 y0=lagrange(x,y,x0)。 y1=1./(1+x0.^2)。 ％繪制圖形 plot(x0,y0,39。r39。) ％插值曲線 hold on plot(x0,y1,‘b39。) ％原曲線 ? 為解決 Rung問題，引入分段插值。 ? 算法分析：所謂分段插值就是通過插值點用折線或低次曲線連接起來逼近原曲線。 ? MATLAB實現 可調用內部函數。 –命令 1 interp1 ? 功能 ： 一維數據插值（表格查找）。該命令對數據點之間計算內插值。它找出一元函數 f(x)在中間點的數值。其中函數 f(x)由所給數據決定。 ? 格式 1 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量 yi，每一元素對應于參量 xi，同時由向量 x與 Y的內插值決定。參量 x指定數據 Y的點。若 Y為一矩陣，則按 Y的每列計算。 ? 算例 對于 t， beta 、 alpha分別有兩組數據與之對應，用分段線性插值法計算當 t=321, 440, 571時 beta 、 alpha的值。 分段插值 temp=[300,400,500,600]39。 beta=1000*[,]39。 alpha=10000*[,]39。 ti=[321,400,571]39。 propty=interp1(temp,[beta,alpha],ti)。 ％ propty=interp1(temp,[beta,alpha],ti ,’linear’)。 [ti,propty] ans = +003 * ? 格式 2 yi = interp1(Y,xi) %假定 x=1:N， 其中 N為向量 Y的長度 ， 或者為矩陣 Y的行數 。 ? 格式 3 yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法計算插值： ’ nearest’：最近鄰點插值 ， 直接完成計算； ’ linear’：線性插值 （ 缺省方式 ） ， 直接完成計算； ’ spline’：三次樣條函數插值 。 ’ cubic’： 分段三次 Hermite插值 。 其它 ， 如 ’ v5cubic’ 。 對于超出 x 范圍的 xi 的 分 量 ， 使用方法 ’ nearest’、 ’ linear’、 ’ v5cubic’的插值算法 ， 相應地將返回 NaN。 對其他的方法 ， interp1將對超出的分量執行外插值算法 。 ? yi = interp1(x,Y,xi,method,39。extrap39。) ? yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval) %確定超出 x范圍的 xi中的分量的外插值 extrapval， 其值通常取 NaN或 0。 ? 算例 year=1900:10:2022。 pro